這兩天在網上淘到一道筆試題目（注1），雖然真假未知，但的確是道好題，題目如下：
從10億個浮點數中找出最大的1萬個。
這是一道似易實難的題目，一般同學最容易中的陷阱就是沒有重視這個「億」字。因為有10億個單精度浮點數元素的陣列在32位平台上已經達到3.7gb之巨，在常見計算機平台（如win32）上宣告乙個這樣的陣列將導致堆疊溢位。正確的解決方法是分治法，比如每次處理100萬個數，然後再綜合起來。不過這不是本文要討論的主旨，所以本文把上題的10億改為1億，把浮點數改為整數，這樣可以直接地完成這個問題，有利於清晰地討論相關演算法的優化（注2）。
不假思索
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立乙個陣列把1億個數裝起來，然後用for迴圈遍歷這個陣列，找出最大的1萬個數來。原因很簡單，因為如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的1萬個數，只是重複1萬遍而已。
template< class t >
void solution_1( t bigarr, t resarr )
resarr[i] = bigarr[idx];
std::swap( bigarr[idx], bigarr[i] ); }}
設big_arr_size ＝ 1億，res_arr_size = 1萬，執行以上演算法已經超過40分鐘（注3），遠遠超過我們的可接受範圍。
稍作思考
從上面的**可以看出跟selectsort演算法的核心**是一樣的。因為selectsort是乙個o(n^2)的演算法（solution_1的時間複雜度為o(n*m)，因為solution_1沒有將整個大陣列全部排序），而我們又知道排序演算法可以優化到o(nlogn)，那們是否可以從這方面入手使用更快的排序演算法如mergesor、quicksort呢？但這些演算法都不具備從大至小選擇最大的n個數的功能，因此只有將1億個數按從大到小用quicksort排序，然後提取最前面的1萬個。
template< class t, class i >
void solution_2( t bigarr, t resarr )
因為stl裡的sort演算法使用的是quicksort，在這裡直接拿來用了，是因為不想寫乙個寫乙個眾人皆知的quicksort**來佔篇幅（而且stl的sort高度優化、速度快）。
對solution_2進行測試，執行時間是32秒，約為solution_1的1.5%的時間，已經取得了幾何數量級的進展。
深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看solution_2，你將發現乙個大問題，那就是在solution_2裡所有的元素都排序了！而事實上只需找出最大的1萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎麼樣來消除這些無用功？
如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘乙個事實：如果這個大陣列本身已經按從大到小有序，那麼陣列的前1萬個元素就是結果；然後，可以假設這個大陣列已經從大到小有序，並將前1萬個元素放到結果陣列；再次，事實上這結果陣列裡放的未必是最大的一萬個，因此需要將前1萬個數字後續的元素跟結果陣列的最小的元素比較，如果所有後續的元素都比結果陣列的最小元素還小，那結果陣列就是想要的結果，如果某一後續的元素比結果陣列的最小元素大，那就用它替換結果陣列裡最小的數字；最後，遍歷完大陣列，得到的結果陣列就是想要的結果了。
template< class t >
void solution_3( t bigarr, t resarr )
}//這個後續元素比resarr中最小的元素大，則替換。
if( bigarr[i] > resarr[idx] )
else
bexchanged = false; }}
上面的**使用了乙個布林變數bexchanged標記是否發生過交換，這是乙個前文沒有談到的優化手段——用以標記元素交換的狀態，可以大大減少查詢resarr中最小元素的次數。也對solution_3進行測試一下，結果用時2.0秒左右（不使用bexchanged則高達32分鐘），遠小於solution_2的用時。
深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下solution_3的成功之處。第一、solution_3的演算法只遍歷大陣列一次，即它是乙個o(n)的演算法，而solution_1是o(n*m)的演算法，solution_2是o(nlogn)的演算法，可見它在本質上有著天然的優越性；第
二、在solution_3中引入了bexchanged這一標誌變數，從測試資料可見引入bexchanged減少了約99.99%的時間，這是乙個非常大的成功。
上面這段話絕非僅僅說明了solution_3的優點，更重要的是把solution_3的主要矛盾擺上了桌面——為什麼乙個o(n)的演算法效率會跟o(n*m)的演算法差不多（不使用bexchanged）？為什麼使用了bexchanged能夠減少99.99%的時間？帶著這兩個問題再次審視solution_3的**，發現bexchanged的引入實際上減少了如下**段的執行次數：
for( idx = 0, j = 1; j < res_arr_size; ++j )
上面的**段即是查詢resarr中最小元素的演算法，分析它可知這是乙個o(n)的演算法，到此時就水落石出了！原來雖然solution_3是乙個o(n)的演算法，但因為內部使用的查詢最小元素的演算法也是o(n)的演算法，所以就退化為o(n*m)的演算法了。難怪不使用bexchanged使用的時間跟solution_1差不多；這也從反面證明了solution_3被上面的這一**段導致效能退化。使用了bexchanged之後因為減少了很多查詢最小元素的**段執行，所以能夠節省99.99%的時間！
至此可知元凶就是查詢最小元素的**段，但查詢最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎麼去優化呢？答案就是保持結果陣列（即resarr）有序，那樣的話最小的元素總是最後乙個，從而省去查詢最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了乙個新的問題：保持陣列有序的插入演算法的時間複雜度是o(n)的，雖然在這個問題裡插入的數次比例較小，但因為基數太大（1億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。
難道就沒有辦法了嗎？記得小學解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目並沒有要求找到的最大的1萬個數要有序（注4），這意味著可以通過如下演算法來解決：
1) 將bigarr的前1萬個元素複製到resarr並用quicksort使resarr有序，並定義變數minelemidx儲存最小元素的索引，並定義變數zonebeginidx儲存可能發生交換的區域的最小索引；
2) 遍歷bigarr其它的元素，如果某一元素比resarr最小元素小，則將resarr中minelemidx指向的元素替換，如果zonebeginidx == minelemidx則擴充套件zonebeginidx；
3) 重新在zonebeginidx至res_arr_size元素段中尋找最小元素，並用minelemidx儲存其它索引；
4) 重複2)直至遍歷完所有bigarr的元素。
依上演算法，寫**如下：
template< class t, class i >
void solution_4( t bigarr, t resarr )
minelemidx = idx; }}
}經過測試，同樣情況下solution_4用時約1.8秒，較solution_3效率略高，總算不負一番努力。
有10億個浮點數，找出一萬個最大的數
給乙個基於最小二叉堆的方案 第一階段，向最小二叉堆中插入前一萬個浮點數 第二階段，從第一萬零乙個浮點數開始，將之與最小二叉堆頂部的最小值比較。如果小於這個最小值，把最小值彈出並將新值插入到二叉堆中。重複此過程直到遍歷完成。建立長度一萬的二叉樹。2.遍歷剩餘的浮點數，若大於最小值則插入二叉樹並刪除最小...
10億個浮點數,求出其中最大的10000個
include stdafx.h include include include include for greater using namespace std int tmain int argc,tchar argv cout bigs.size endl make heap bigs.begi...
有10億個浮點數，從中找出1萬個最大的數。
給乙個基於最小二叉堆的方案 第一階段，向最小二叉堆中插入前一萬個浮點數 第二階段，從第一萬零乙個浮點數開始，將之與最小二叉堆頂部的最小值比較。如果小於這個最小值，把最小值彈出並將新值插入到二叉堆中。重複此過程直到遍歷完成。建立長度一萬的二叉樹。2.遍歷剩餘的浮點數，若大於最小值則插入二叉樹並刪除最小...