利用等概率Rand5產生等概率Rand3

問題本身很明確，但不知道起個什麼題目好，姑且先這麼說吧。

問題描述：現在有乙個叫做rand5的函式，可以生成等概率的[0, 5)範圍內的隨機整數，要求利用此函式寫乙個rand3函式（除此之外，不能再使用任何能產生隨機數的函式或資料來源），生成等概率的[0, 3)範圍內的隨機整數。

我第一次遇到這個問題的時候，著實犯了一回傻，自以為是地證明了這個題目是無解的。其實從概率的角度來看，題目的要求就是，利用乙個1/5的概率源，通過某種方式產生出1/3的概率輸出。我們都知道，概率運算法則有加法和乘法，而在我的記憶中，演算法是「在有限步驟內求解某一問題所使用的一組定義明確的規則」，演算法的乙個重要特徵就是有窮性，即乙個演算法必須保證執行有限步之後結束。那麼有限多個1/5通過加法和乘法是不可能的到1/3這個數值的，因為加法和乘法都不會給分母帶來新的因子，那麼分母中的3根本就不可能出現。

然而我忽略了這樣乙個式子：∑∞

i=0(

25)i

=11−

25=5

3

基於這個想法，我們來看看這個演算法是什麼樣子的：

python:

1

2        
3        
4        
5        
defrand3
():        
x         = -
1while not0
<= x 
<
3:        
x         = rand5
()returnx

1

2        
3        
4        
5        
6        
7        
8        
9        
int rand3
()while
(x         >=3)
;return x
;}  

以輸出0為例，看看概率是多少。x的第乙個有效數值是通過rand5得到的。rand5返回0的概率是1/5，如果這事兒發生了，我們就得到了0，否則只有當rand5返回3或4的時候，我們才有機會再次呼叫它來得到新的資料。第二次呼叫rand5之後，又是有1/5的概率得到0，2/5的概率得到3或4導致迴圈繼續執行下去，如此反覆。因此概率的計算公式為：p=

====

15+2

5×(1

5+25

×(15

+25×

(⋯))

)15×

∑∞i=

0(25

)i15

×11−

2515

×531

3

喏，計算表明，rand3輸出0的概率確實是1/3，對於另外兩個數字也是一樣的。

那麼這段**是不是乙個演算法呢，它是否滿足演算法的有窮性呢？我不能確定，雖然它不停機的概率是0，然而這個概率是乙個極限值，唉，回去複習極限知識先。

改變一下題目，如果要求利用rand5編寫rand7怎麼辦？很簡單，用兩個rand5可以拼出rand25，然後就用前面的方法即可：

python:

1

2        
3        
4        
5        
defrand7
():        
x         = -
1while not0
<= x 
<
21:        
x         = rand5
() * 
5 + rand5
()returnx % 
7

1

2        
3        
4        
5        
6        
7        
8        
9        
int rand7
()while
(x         >=21)
;return x 
%7;}  

演算法 rand5 產生rand7

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演算法題 rand5 產生rand7

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