概率演算法和近似演算法

前面已經提到了顯示中大多數難解問題問題最後都被證明是np-完全問題。這意味著，除非np=p，它們是不可能有多項式時間演算法的（而且，在這篇文章提到即使np=p，人們也可能找不到乙個np完全問題的「有效」演算法）。

所以人們發展了各種工具來避開它們，最常用的兩種方法是使用概率演算法和近似演算法，這兩種方法也符合實際需要：在解決實際問題中，我們不需要結果絕對正確，也不需要結果絕對精確。

所謂概率演算法，就是在演算法的過程中引入隨機數，使得演算法在執行的過程中隨機選擇下乙個計算步驟。它最後可能導致結果也是不確定的。乙個結果不確定的概率演算法叫做monte carlo演算法，而總是得到準確解的概率演算法叫做sherwood演算法（乙個例子是引進隨機因子的快速排序演算法）。

為何引入隨機數能夠提公升計算效能（事實上，理論計算機學家還沒能證實隨機因子本質上更有效率——指具有指數級別的效率提公升），主要有下面兩個原因：

首先，通常乙個演算法，它對於很多種情況是比較快的，但對於某些「特別差」的輸入，它要找到乙個解則特別困難。引入隨機數之後，使得演算法的時間複雜度平均化了，然後算得更快（評價乙個隨機演算法的複雜性通常是考慮其平均複雜性）。

其次，對於monte carlo演算法，它的輸出是不精確的，這種犧牲使得演算法能夠在較短時間內完成。

需要指出的是，下面這個定理，使得乙個不那麼精確的monte carlo演算法亦有實際的效用的：

如果乙個判定問題的某個monte carlo演算法有2/3的正確機率(這個2/3可以替換成任何乙個大於1/2的數，當然小於等於1/2的隨機演算法一點意義都沒有，因為還不如拋硬幣)，重複這個演算法k次，取出現次數更多的結果作為問題的答案，則這個答案的正確率大於1-1/2(8/9)^k。

上面的結果由於k出現在指數上，所以只需要將乙個monte carle演算法重複很少的次數，便能得到很高的準確率。

近似演算法從字面的意思來看似乎和上面的monte carle演算法差不多，其實它們的考慮物件是不一樣的，而且通常所指的近似演算法是確定型演算法。近似演算法多用在組合優化的問題，而不是判定性問題上。組合優化問題，指的是那些需要求最優解的問題，比如下面這個

旅行商問題

有n個城市，乙個推銷員要從其中某乙個城市出發，不重複地走遍所有的城市，再回到他出發的城市。問這個推銷員的最短路程。

對於這種問題，如果最短路徑是1000，而且我們能很快找到乙個1000.1的路徑，在實際運用中，我們還需要浪費巨大的計算資源去找那個1000的路徑嗎？近似演算法便基於此思想而來。

近似演算法指在解決優化問題中，最後得到的結果能保證在一定的誤差之內的演算法。

從近似演算法的角度來說，同為np完全問題，它們也有不同的可近似度。在多項式時間內，有些問題可以無窮小誤差的逼近，但有些問題卻連常數倍數之內的結果都沒法得到。