從四元數轉換到矩陣
為了將角位移從四元數轉換到矩陣形式，可以利用旋轉矩陣，它能計算繞任意軸的旋**
這個矩陣是用n和θ表示的，但四元數的分量是：
w = cos(θ/2)
x =nx sin(θ/2)
y =ny sin(θ/2)
z =nz sin(θ/2)
讓我們看看能否將矩陣變形以代入w、x、y、z，矩陣的9個元素都必須這樣做。幸運的是，這個矩陣的結構非常好，一旦解出對角線上的乙個元素，其他元素就能用同樣的方法求出。同樣，非對角線元素之間也是彼此類似的。
考慮矩陣對角線上的元素，我們將完整地解出m11
，m22
和m33解法與之類似：
m11 =nx
2(1 - cosθ) + cosθ
我們將從上式的變形開始，變形方法看起來像是在繞圈子，但你馬上就能理解這樣做的目的：
現在需要消去cosθ項，而代之以包含cosθ/2或sinθ/2的項，因為四元數的元素都是用它們表示的，像以前那樣，設α=θ/2，先用α寫出cos的倍角公式，再代入θ:
上式是正確的，但它和其他的標準形式不同，即:
m11 = 1 - 2y2 - 2z2
實際上，還有其他的形式存在。最著名的乙個形式是m11 = w2 + x2 - y2- z2，因為w2 + x2 + y2 + z2 = 1，所以這三種形式是等價的。現在回過頭來看看能不能直接匯出其他標準形式，第一步，n是單位向量，nx
2+ny
2 +nz
2 = 1，則1 -nx
2 =ny
2 +nz2。
m11 = 1 - (1 -nx
2)(2sin2(θ/2))
= 1 - (ny
2 +nz
2)(2sin2(θ/2))
= 1 - 2ny
2sin2(θ/2) - 2nz
2sin2(θ/2)
= 1 - 2y2 - 2z2
元素m22
和m33
可以用同樣的方法求得。
讓我們來看看非對角線元素，它們比對角線元素簡單一些，以m12
為例子：
m12 =nxny(1 - cosθ) +nzsinθ
其他非對角線元素可用同樣的方法匯出。
最後，給出從四元素構造的完整旋轉矩陣，如公式10.23所示：
從矩陣轉換到四元數
為了從旋轉矩陣中抽出相應的四元數，可以直接利用公式 10.23，檢查對角線元素的和（也稱作矩陣的軌跡）得到：
通過使軌跡中三個元素中的兩個為負，可以用類似的方法求得其他三個元素:
不幸的是，這種方法並不總是能正確工作，因為平方根的結果總是正值。（更加準確地說，沒有選擇正根還是負根的依據。）但是，q和-q代表相同的方位，我們能任意選擇用非負根作為4個分量中的乙個並仍能得到正確的四元數，只是不能對四元數的所有4個數都用這種方法。
另乙個技巧是檢查相對於對角線的對稱位置上元素的和與差：
那麼應選用四種方法中的哪個呢？似乎最簡單的策略是總是先計算同乙個分量，如w，然後再計算x、y、z。這伴隨著問題，如果w=0，除法就沒有定義；如果w非常小，將會出現數值不穩定。shoemake建議先判斷w、x、y、z中哪個最大（不用做平方根運算），根據上面的表，用矩陣對角線計算該元素，再用它計算其他三個。
下面的**用一種非常直接的方式實現了這個方法。
listing 10.4: converting a rotation matrix to a quaternion
// input matrix:
float
m11,m12,m13;
float
m21,m22,m23;
float
m31,m32,m33;
// output quaternion
float
w,x,y,z;
// determine which of w, x, y, or z has the largest absolute value
float
fourwsquaredminus1 = m11 + m22 + m33;
float
fourxsquaredminus1 = m11 – m22 – m33;
float
fourysquaredminus1 = m22 – m11 – m33;
float
fourzsquaredminus1 = m33 – m11 – m22;
int biggestindex = 0;
float
fourbiggestsquaredminus1 = fourwsquaredminus1;
if (fourxsquaredminus1 > fourbiggestsquaredminus1)
if (fourysquaredminus1 > fourbiggestsquaredminus1)
if (fourzsquaredminus1 > fourbiggestsquaredminus1)
// perform square root and division
float
biggestval = sqrt(fourbiggestsquaredminus1 + 1.0f) * 0.5f;
float
mult = 0.25f / biggestval;
switch
(biggestindex)
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