分治法求兩個大整數的乘積

分治法求兩個大整數的乘積

分治法求兩個大整數的乘積

uv的值。按此思想設計乙個兩個大整數乘積的分治演算法把

u分成u1、

u2、u3三段，即

u=u1*22n/3+u2*2n/3+u3 把

v分成v1、

v2、v3三段，即

v=v1*22n/3+v2*2n/3+v3

則：uv=u1v1*24n/3+(u2v1+u1v2)*2n+(u1v3+u2v2+u3v1)*22n/3+(u3v2+u2v3)*2n/3+u3v3

由上邊式子知：

u1v1

和u3v3

是避免不了的要進行乘法運算。

另外在其餘三個式子中要通過拆分消除缺少的分量。

例如在u1v3+u2v2+u3v1

中要在所有分量中消除

u1v1 u1v2 u2v1 u2v3 u3v2 u3v3

。則可以構造

(u1+u2+u3)*(v1+v2+v3)

和(u1-u2+u3)*(v1-v2+v3)

兩個式子通過正負抵消在所有分量中消除多餘分量。

在u2v1+u1v2

和u3v2+u2v3

中還要構造彌補抵消

u2v2

的式子，通過演算給分量配係數可得構造式子為

(u1-2u2+4u3)*(v1-2v2+4v3)

。綜上：可令

m1=u1v1

m2=u3v3

m3=(u1+u2+u3)*(v1+v2+v3)

m4=(u1-u2+u3)*(v1-v2+v3)

m5=(u1-2u2+4u3)*(v1-2v2+4v3)

則有：u1v1=m1

u2v1+u1v2=(3m1

-12m2

+2m3

-6m4+m5)/6

u1v3+u2v2+u3v1=(m3+m4)/2-m1-m2

u3v2+u2v3=(

-3m1+

12m2

+m3+

3m4-m5)/6

u3v3=m2

m1,m2,m3,m4,m5

即為五次

n/3位整數的乘法。

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