在字串處理當中，字尾樹和字尾陣列都是非常有力的工具，其中字尾樹大家了解得比較多，關於字尾陣列則很少見於國內的資料。其實字尾陣列是字尾樹的乙個非 常精巧的替代品，它比字尾樹容易程式設計實現，能夠實現字尾樹的很多功能而時間複雜度也不太遜色，並且，它比字尾樹所占用的空間小很多。可以說，在資訊學競賽 中字尾陣列比字尾樹要更為實用。因此在本文中筆者想介紹一下字尾陣列的基本概念、構造方法，以及配合字尾陣列的最長公共字首陣列的構造方法，最後結合一些 例子談談字尾陣列的應用。
基本概念
首先明確一些必要的定義：
字符集 乙個字符集∑是乙個建立了全序關係的集合，也就是說，∑中的任意兩個不同的元素α和β都可以比較大小，要麼α<β，要麼β<α（也就是α>β）。字符集∑中的元素稱為字元。
字串 乙個字串s是將n個字元順次排列形成的陣列，n稱為s的長度，表示為len(s)。s的第i個字元表示為s[i]。
子串 字串s的子串s[i..j]，i≤j，表示s串中從i到j這一段，也就是順次排列s[i],s[i+1],...,s[j]形成的字串。
字尾 字尾是指從某個位置i開始到整個串末尾結束的乙個特殊子串。字串s的從i開頭的字尾表示為suffix(s,i)，也就是suffix(s,i)=s[i..len(s)]。
關 於字串的大小比較，是指通常所說的「字典順序」比較，也就是對於兩個字串u、v，令i從1開始順次比較u[i]和v[i]，如果相等則令i加1，否則 若u[i]v[i]則認為u>v（也就是vlen (u)或者i>len(v)仍比較出結果，那麼若len(u)len(v)則u>v。
從字串的大小比較的定義來看，s的兩個開頭位置不同的字尾u和v進行比較的結果不可能是相等，因為u=v的必要條件len(u)=len(v)在這裡不可能滿足。
下 面我們約定乙個字符集∑和乙個字串s，設len(s)=n，且s[n]='$'，也就是說s以乙個特殊字元'$'結尾，並且'$'小於∑中的任何乙個字 符。除了s[n]之外，s中的其他字元都屬於∑。對於約定的字串s，從位置i開頭的字尾直接寫成suffix(i)，省去引數s。
後 綴陣列 字尾陣列sa是乙個一維陣列，它儲存1..n的某個排列sa[1],sa[2],...sa[n]，並且保證 suffix(sa[i])n或者j+k>n的時候suffix(i+k)或suffix(j+k)是無明確定義的表示式，但實際上不需要考慮 這個問題，因為此時suffix(i)或者suffix(j)的長度不超過k，也就是說它們的k-字首以'$'結尾，於是k-字首比較的結果不可能相等， 也就是說前k個字元已經能夠比出大小，後面的表示式自然可以忽略，這也就看出我們規定s以'$'結尾的特殊用處了。
定義k-字尾陣列 sak儲存1..n的某個排列sak[1],sak[2],…sak[n]使得suffix(sak[i]) ≤ksuffix(sak[i+1]),1≤ij時可交換i,j，i=j時可以直接輸出結果n-sa[i]+1。
直接根據定義，用順次比較對應字元的方法來計算lcp(i,j)顯然是很低效的，時間複雜度為o(n)，所以我們必須進行適當的預處理以降低每次計算lcp的複雜度。
經過仔細分析，我們發現lcp函式有乙個非常好的性質：
設ip，則
u[1]=w[1],u[2]=w[2],...u[q]=w[q]。
而min=p說明u[p+1]≠v[p+1]或v[p+1]≠w[q+1]，
設u[p+1]=x,v[p+1]=y,w[p+1]=z，顯然有x≤y≤z，又由pp不成立，即lcp(i,k)≤p。 (2)
綜合(1),(2)知 lcp(i,k)=p=min，lcp lemma得證。
於是lcp theorem可以證明如下：
當j-i=1和j-i=2時，顯然成立。
設j-i=m時lcp theorem成立，當j-i=m+1時，
由lcp lemma知lcp(i,j)=min，
因j-(i+1)≤m，lcp(i+1,j)=min，故當j-i=m+1時，仍有
lcp(i,j)=min}=min|i+1≤k≤j)
根據數學歸納法，lcp theorem成立。
根據lcp theorem得出必然的乙個推論：
lcp corollary 對i≤j1且rank[i]>1，一定有h[i]≥h[i-1]-1。
為了證明性質3，我們有必要明確兩個事實：
設i1，則成立以下兩點：
fact 1 suffix(i)1說明suffix(i)和suffix(j)的第乙個字元是相同 的，設它為α，則suffix(i)相當於α後連線suffix(i+1)，suffix(j)相當於α後連線suffix(j+1)。比較suffix (i)和suffix(j)時，第乙個字元α是一定相等的，於是後面就等價於比較suffix(i)和suffix(j)，因此fact 1成立。fact 2可類似證明。
於是可以證明性質3：
當h[i-1]≤1時，結論顯然成立，因h[i]≥0≥h[i-1]-1。
當h[i-1]>1時，也即height[rank[i-1]]>1，可見rank[i-1]>1，因height[1]=0。
令j=i-1,k=sa[rank[j]-1]。顯然有suffix(k)1和suffix(k)1，rank[i]>1，h[i-1]>1，根據性質3，suffix(i)和suffix(rank[i]-1)至少有 前h[i-1]-1個字元是相同的，於是字元比較可以從h[i-1]開始，直到某個字元不相同，由此計算出h[i]。字元比較次數為h[i]-h[i- 1]+2。
設sa[1]=p，那麼不難看出總的字元比較次數不超過
也就是說，整個演算法的複雜度為o(n)。
求出了h陣列，根據關係式height[i]=h[sa[i]]可以在o(n)時間內求出height陣列，於是
可以在o(n)時間內求出height陣列。
結合rmq方法，在o(n)時間和空間進行預處理之後就能做到在常數時間內計算出對任意(i,j)計算出lcp(i,j)。
因為lcp(suffix(i),suffix(j))=lcp(rank[i],rank[j])，所以我們也就可以在常數時間內求出s的任何兩個字尾之間的最長公共字首。這正是字尾陣列能強有力地處理很多字串問題的重要原因之一。
字尾陣列的應用
下面結合兩個例子談談如何運用字尾陣列。
例一 多模式串的模式匹配問題
字尾陣列與字尾樹的比較
字尾樹 字尾陣列
我們考慮將乙個串的所有字尾插入乙個trie中，得到的trie就是字尾trie。我們可以發現，樹上有分叉或者是字尾節點的點的個數是o l en o len o len 個，這個後面解釋，於是把沒有分支並且不是字尾節點的點壓縮到一起，就變成了字尾樹。不難發現，字尾樹可以表示該字串的所有子串。下面分析一下...
字尾樹與字尾陣列
字尾樹和字尾陣列是字串處理的兩大神器，幾乎可處理掉一切的字串處理問題，但是在實際中，字尾陣列比字尾樹更好寫 好調，同時時間上也不差 常數很小 所以字尾陣列絕對是oi競賽之必備神器。字尾樹，實際上就是一棵字典樹。考慮將某個串 s 的所有字尾插到一棵trie裡，那麼我們就得到了一棵字尾樹。在這裡，我們不...
字尾陣列入門，字尾陣列模板整理
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