已知三角形三點座標, 求三角形的面積
先介紹一下三維中的兩點之間距離之式，和二維的幾乎一樣：d = sqrt((x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2)
再介紹叉乘，中心內容！叉乘在定義上有：兩個向量進行叉乘得到的是乙個向量，方向垂直於這兩個向量構成的平面，大小等於這兩個向量組成的平行四邊形的面積。
在直角座標系[o;i,j,k]中，i、j、k分別為x軸、y軸、z軸上向量的單位向量。設p0(0,0,0)，p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)。因為是從原點出發，所以向量p0p1可簡記為p1，向量p0p2可簡記為p2。依定義有：
|i j k |
p1×p2 = |x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
展開，得到：
上式 = iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2
= (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k
按規定，有：單位向量的模為1。可得叉積的模為：
|p1×p2| = y1z2 - y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1
= (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1)
開始正式內容。我們設三角形的三個頂點為a(x0,y0,z0)，b(x1,y1,z1)，c(x2,y2,z2)。我們將三角形的兩條邊ab和ac看成是向量。然後，我們以a為原點，進行座標平移，得到向量b(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量c(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。
①在三維的情況下，直接代入公式，可得向量b和向量c叉乘結果的模為：
|b×c| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -
((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))
| 1 1 1 |
= |x1-x0 y1-y0 z1-z0|
|x2-x0 y2-y0 z2-z0|
它的一半即為所要求的三角形面積s。
還有一種比較簡單的寫法。將向量ab和ac平移至原點後，設向量b為(x1,y1,z1)，向量c為(x2,y2,z2)，則他們的叉乘所得向量p為(x,y,z)，其中：
|y1 z1| |z1 x1| |x1 y1|
x = | | y = | | z = | |
|y2 z2| |z2 x2| |x2 y2|
然後用三維中的兩點之間距離公式，求出(x,y,z)與(0,0,0)的距離，即為向量p的模，它的一半就是所要求的面積了。
以上公式都很好記：x分量由y，z分量組成，y分量由z，x分量組成，z分量由x，y分量組成，恰好是迴圈的。座標平移一下就好了。
②在二維的情況下，我們可以取z = 0這個平面，即令z1 = z2 = 0，且
|p1×p2| = x1y2 - x2y1
|x1 y1|
= | |
|x2 y2|
所以：|b×c| = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)
|x1-x0 y1-y0|
= | |
|x2-x0 y2-y0|
它的一半即為所要求的三角形的面積s。
注意，用行列式求出來的面積是帶符號的。如果a，b，c是按順時針方向給出，則s為負；按逆時針方向給出，則s為正。
以二維的情況為例，三維亦同：
a(0,0) b(0,1) c(1,0) (a，b，c按順時針方向給出)
s = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
= ((0 - 0)*(0 - 0)-(1 - 0)*(1 - 0))/2
= -0.5
a(1,0) b(0,1) c(0,0) (a，b，c按逆時針方向給出)
s = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
= ((0 - 1)*(0 - 0)-(0 - 1)*(1 - 0))/2
= 0.5
如果你不需要符號的話，再求一下絕對值就好了。這樣也不用去管給出的點的順序了。
以上是利用叉乘。其實還有一招，那就是海**式：
利用兩點之間距離公式，求出三角形的三邊長a，b，c後，令p = (a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面積s :
s = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
看起來好像比上面的都要簡單…… -.-b 各位看客不要打我！
推薦：在二維的時候使用叉乘公式，三維的時候使用海**式～～～不過如果是需要符號的情況時，就只能使用行列式的計算公式了。
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