上次說到丘齊數
的時候並沒有提到怎麼定義後繼函式， succ(n) = n + 1。這兩天讀pierced的書（順便說一句，這本types and programming languages的敘述清晰，推理自然，符號也用得非常簡約。相比那本principles of program analysis，peirce這本書讀起來輕鬆多了。也不知道是作者風格問題，還是型別系統的線條本來就比較清爽）時，突然意識到succ的定義其實暗合（多半是明合，不過我沒有清晰的證明）互動遞迴。先看上次定義的丘齊數：
n ＝ lambda s z . sn z
如果把s看成後繼函式，z看成0，n就很好理解了：對0做n次後繼操作。
現在看後繼函式的定義：succ = lambda n s z. s (n s z)
看到沒有，如果我們同樣把s看作後繼函式，z看成0， 那succ(n)相當於對0做n次後繼操作，然後再做一次。相當於說說succ(n) = n + 1。非常直觀吧？再仔細觀察，丘齊數的定義出現在後繼函式的定義裡，反之亦然。換句話說，俺們用到了互動遞迴。如果有老大不了解互動遞迴，不妨不用任何迴圈語句寫乙個列印有任意結構的樹的程式。
那我們怎麼知道這個互動遞迴收斂呢？那就要看0這個丘齊數的定義了：0 = lambda s z. z。同樣，把s看成後繼函式。s完全沒有被應用到被看作0的z上。換句話說，當n等於0時，succ(n)＝succ(0) = s (0 s z) = s z = z = 0。剛好收斂。當然，這不是嚴格的證明。嚴格的證明就留給各位老大了。
最後來道練習題（其實就是pierce書上的練習5.2.2)：用另外一種方式定義後繼函式。
互動遞迴和丘齊數
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