首先，這是一篇牽扯到數學和物理知識的文章，如果您對文中所涉及的公式有所不明白的話，請在邊上擺上一本《高等數學》以及一些物理學常識的知識。
首先來講布，第乙個問題是：為什麼要模擬布的運動？遊戲中很多地方都有布，那麼目前大部分的做法是什麼樣的呢？目前大多數遊戲所採用的方法是對布建立骨骼，然後由美工針對每個動作做不同的布料骨骼動畫，這種做法帶來的弊端就是布料不會隨著周圍環境的變化來變化。比如說，周圍颳來一陣風，或者騎在馬上，披風不能披落在馬背上，等等之類的。而且如果遊戲中動作很多的情況下，針對每個動作都需要做不同的布料骨骼的調整，加大的美工的工作量以及工作複雜度，另外如果披風的骨骼的數目不多的話，還會導致即使是調出來的動作也會產生很不美觀的效果。
ok，羅嗦了一大堆，那麼我們要實現什麼呢？我們要實現一套針對布料的物理系統，要求在沒有風的情況下，布料會受重力的影響，慢慢的飄落，並且在有風刮起來的時候，你的布要能「隨風飄擺」。
下面來看看傳統物理中，布料的模型。根據流體力學來說，布料上每個頂點的力可以用聖維南方程組來求，但是在數學裡面來說，聖維南方程組是沒有精確解的，那麼我們就需來設計一種模型來求該方程的近似解。無數的物理高手，在模擬布的過程中，總結出了兩套經典的模型，一套是「質點-彈簧」模型，另外一套是由微軟中國研究院研究出來的「半鋼體-複雜擺」模型，在我的布料引擎中所用到的是「質點-彈簧」模型，理由是該模型所存在的時間比「半鋼體-複雜擺」模型要久很多，在穩定性，以及效率方面幾乎沒有風險。而如果採用「半鋼體-複雜擺」，這還只是乙個實驗品，目前來講還沒有任何的應用，採用這種模型有一定的風險。
那麼我們下面就來詳細看看經典的「質點-彈簧」模型究竟是怎麼樣一回事：
在「質點-彈簧」模型中，任何的流體（柔體）都被分解為由n個質點，每個質點之間由各種不同方式的彈簧連線著。主要的連線方式有三種，一種是矩形連線法，即每個質點和他的「上下左右」四個點用彈簧進行連線。另外一種是交叉連線法，即每個質點和他的「左上，右下，左下，右下」四個點用彈簧進行連線。最後一種方法叫隔點連線法，既每個質點和他的「左邊的左邊，右邊的右邊，上面的上面和下面的下面」四個點用彈簧體進行連線，這種連線方式主要是用來簡化之後的關於彈簧的彎取應力的計算，一般要和前兩種連線方式混合起來使用。在我的布料運算的demo中，我採用了第一中矩形連線法，然後自己精確計算彈簧的彎取應力來實現的。
物理模型選定之後，就需要我們來針對傳送進來的頂點進行程式設計進行建模，一般的方法是將布料的頂點，按照從左到右，從上到下的順序傳遞進來，然後按照布料的寬度來進行程式上的物理建模。當模型建立好之後，我們就需要每一幀對模型中的每乙個質點進行物理運算：
那麼每個質點所受到的力具體該如何算呢？這裡分為兩步來進行計算，首先是內力，然後是外力：
每個質點都受到由彈簧建立成的模型所帶來的彈簧的拉力，以及彈簧本身的彎取應力。
那麼首先來算彈簧的拉力，首先獲得當前質點在空間中的位置p0，然後獲得和他用彈簧相連的周圍各個質點的位置p1-p5，然後迴圈計算p1-p5和p0的距離，並用這個距離減去彈簧本身的長度，然後乘以彈簧的虎克係數，就是這個點在這一幀受到的彈簧拉力。
另外來算彈簧的彎取應力，在矩形模型中，則是通過計算「上面質點」和「下面質點」的夾角以及「左邊質點」和「右邊質點」的夾角來乘以乙個彎取應係數來獲得乙個以當前質點為圓，兩個質點的距離為半徑的圓在鄰質點的切線方向的乙個力。
到這裡，布料的內力都已經計算完成了，那麼就需要來計算布料所受的外力了。
首先是重力，重力是根據質點的密度（質量）乘以重力加速度的乙個值，然後是乙個全域性的阻力，否則彈簧會不停的彈來彈去沒有個完，注意，這裡的被乘數一定要是上一幀的速度向量，而不是當前的力向量。接下來就是風力，我對風力的處理可以理解為在質點的法線方向施加的乙個力，力的大小跟風力向量以及質點的方向的夾角有關，當夾角為2*pi的時候，風力達到最大。
至此，質點的內力和外力都計算完畢，那麼接下來如果通過這個力來獲得下一幀的質點的位置呢？首先根據質點的質量和合力的大小來獲得乙個帶方向的加速度，這一步只需要將算出來的力乘以1/質點的質量，得到加速度之後，就可以根據vt = v0 + at來計算這一幀的速度向量，隨後將當前質點在空間中的位置加上v * t就是下一幀的質點的位置。
至此，對於布的模擬已經完全搞定了，不用懷疑，就這麼簡單，但是目前所實現的東西還無法應用，為什麼？很簡單，因為還沒有做布的碰撞，如果一塊披風在人身上穿過來穿過去的，那麼做不做布還有什麼意義？
對布做精確碰撞檢測？這是不可能的，如果你要這樣做你的遊戲將只有20幀不到的fps，用aabb包圍盒碰撞？你希望看到一陣風吹過來，你的披風貼在乙個正正方方的「人」上面？那麼這裡就提出乙個新的概念「橢球包圍體」碰撞。注意，這裡的橢球體是不存在的，只是乙個數學模型，並不是由三角型等組成的，這種橢球體可以繫結在人物骨骼上，隨人物骨骼的運動而動，比如說人的頭，就是乙個x-y-z軸相等的橢球體，髖骨，盆骨，肩胛骨等都可以比較好的用橢球體體現出來。
橢球體是個很有意思的東西，在做fps類遊戲的時候，要實現上下樓梯的效果，用橢球包圍體碰撞就是個非常好的方法，而在這裡，不是橢球體跟三角型碰，而是頂點跟橢球體碰。那麼下面來看看究竟如何比較好的描敘，以及來使用乙個橢球體：
橢球體用三個向量來進行描敘，乙個是橢球體在空間中的中點，另外乙個向量是儲存橢球體在x,y,z軸三個方向的半徑的長度，另外乙個向量則是指定橢球體的方向，我在demo中是以橢球體x軸的方向為橢球體的方向。
橢球體的方程是：
(x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2) = 1
那麼相應的碰撞檢測就是將某個頂點的x,y,z三個值帶入方程，看結果是大於1還是小於1，如果小於1則發生了碰撞。那麼發生碰撞之後怎麼辦呢？首先需要把這個頂點強行移動到離橢球體表面最近的點，這一步通過解從橢球體中點，過那個頂點的射線和橢球體方程一起連解，可以獲得那個點，具體的推導這裡就不列出來了，化簡後方程如下：
設：x0,y0,z0為橢球體中點，x1,y1,z1為在橢球體內一點：
那麼離它最近的橢球體表面一點為：
t = sqrt(1 / (sqr((x1-x0)/a) + sqr((y1-y0)/b) + sqr((z1-z0)/c)));
x = x0 + t*(x1-x0);
y = y0 + t*(y1-y0);
z = z0 + t*(z1-z0);
最後，由於整個布料的運算是基於物理模型的，所以並不能直接把它弄到橢球體表面就了事了，應該給它乙個在橢球體上這一點的法線方向的支援力。
橢球體的法線的計算在化簡之後為：
d3dxvector3(sqr((x - x0) / a),sqr((y - y0) / b),sqr((z - z0) / c));
然後通過乙個點乘算出當前質點所受的力在負法線方向的分量，然後用當前的力向量減去這個分量即可，之後再需要乘上乙個這個橢球體的摩擦係數。
至此，整個布料運算+橢球體碰撞的模型介紹完畢。
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