編譯原理（一道小證明題）

最近閒暇之餘看看編譯原理，娛樂一下，碰到一道小小證明題，於是心血來潮證明一下。

lz也是數學專業畢業的，當初上大學時每天做的最多的就是多達n個黑板的證明題，可惜啊，時光是殘酷的，現在已不復往日了。

不過看到證明題，尤其是簡單的證明題，lz積蓄了多年的數學細胞又被激發起來了，這就是青春啊，神馬《致青春》的都弱爆了，總拿愛情說事，其實大學裡還是有很多值得回憶的事的，比如證明題，lz說這話會不會勾起了很多人的痛苦回憶。

不過小證怡情，大證傷身，太長的證明題我們就不鳥咯（其實是lz證明不出來，囧）。

編譯原理-->題目原型：

num -> 11 | 1001 | num 0 | num num

2，上面文法是否能生成所有能被3整除的二進位制串？

1、分析：該文法的終止符集為，非終止符集為，起始符號為num，規則集，由以上文法得到的二進位制串，轉換成抽象語法樹之後，其葉子節點一定是11或者1001，而如果向樹的根節點按照規則生成二進位制串，則產生的方式有以下兩種。

1）num 0

2）num num。

因而，我們只需要證明num 0 和num num的組合可以被3整除即可。

因為假設前者可以被證明，則語法樹的任何乙個節點都可以被3整除，並且在此基礎上，所有組合方式都可以被3整除，故可得到此文法所得到的所有二進位制串都可以被3整除。

有了以上分析，那麼證明過程非常簡單。

證明：step 1：11和1001都可以被3整除（不解釋）。

step 2：若組合形式為num 0 ，因為 num 0 = 2 * num，故在step 1的前提下，num 0 的組合可以被3整除。

step 3：若組合形式為num num，設num num為num1 num2 ，且num2為n位二進位制串，則num num = num1 num2 = (2的n次方) * num1 + num2 ，故在step 1的前提下，num num的組合可以被3整除。

step 4：綜合step 1 、step 2 、step 3，由上述文法生成的所有二進位制串都可以被3整除。

2、答案：非也，最顯然的，0就無法由文法匯出，另外非顯然的，比如21=10101，也無法由文法匯出，再比如給21乘個2，即42 = 101010，也無法匯出，and so on。

歐了，怡完情**睡覺，各位晚安。