\(\quad\) 我們知道，阿氏圓在初中數學中是一類常用的求線段和/差極值的模型，它的大致題意如下：
平面上有乙個圓 \(o\) , 圓外兩點 \(a\) 和 \(b\) ，圓上有一動點 \(p\) 。現在給出乙個值 \(k=\frac\) ，求 \(kpa+pb\) 的最小值與 \(kpa-pb\) 的最大值。\(\quad\) 但是，你以為我今天要討論的是這兩種人盡皆知的問題嗎？既然 \(p\) 是 \(⊙o\) 上的乙個動點，那麼 \(kpa+pb\) 一定會有最大值， \(kpa-pb\) 也會有最小值。
\(\quad\) 坦白來講，對於乙個初三學生來說，找到這兩個 \(p\) 的位置絕非易事，於是我在經歷了 4 天的思考後，向\(\text\)
神仙求助了 \((kpa+pb)_\) 的情況，隨後自己整理出了 \((kpa-pb)_\) 的情況。
話不多說，先放原圖：
\(d\) 我們構造的點，滿足 \(kpa=pd\) 。於是問題轉化為求 \((bp+pd)_\) 。
乍一看，這運用初中的知識完全求不出來，但是我們可以稍稍試試轉化法：如果能找到滿足 \((bp+pd)_\) 時點 \(p_0\) 的軌跡，再與圓 \(o\) 的交點，這不就是最終的 \(p\) 了嗎？
隨後，我們引入高中的內容：橢圓。橢圓，即平面上到兩焦點的距離之和為定值的點的集合，而這個定值就是橢圓的長軸的長度。既然如此，我們就可以以 \(b\) , \(d\) 兩點為焦點，構造橢圓，當橢圓與 \(⊙o\) 相切時，\(bp+pd\) 取得 \(max\) 值。
如圖可見，點 \(f\) 就是橢圓和 \(⊙o\) 的切點，當 \(p\) 與 \(f\) 重合時，由於「橢圓的長軸最長」，所以此時 \(bp+pd\) 取得 \(max\) 。可是，怎樣求具體的值呢？\(\text\)神仙 給出了一種方案：
也就是說，我們可以求出切線方程，由於 \(p(f)\) 此時是切點，所以橢圓的切線就是圓的切線，隨後帶入元和數值求解即可。理論上可行，實際應該有點麻煩（因為要對高次方程進行求解）。
還是同樣的思路，首先構造點 \(d\) ，然後找出 \(pd-pb\) 的軌跡，最後與 \(⊙o\) 的切點即為點 \(p\)。
於是我們再次引入高中的內容：雙曲線。雙曲線就是平面上到兩焦點的距離之差相等的點的集合。於是，我們以 \(b,d\) 為焦點，構造雙曲線。當雙曲線與 \(⊙o\) 相切時，切點即為點 \(p\) 。
這個是下曲線與 \(⊙o\) 相切的情況，還有一種上曲線和 \(⊙o\) 相切的情況：
那麼計算的話就自行按照雙曲線和圓的方程聯立，思路還是和上面那種差不多。