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又到了喜聞樂見的推式子環節
引理：\(d(i,j)=\sum_\sum_[\gcd(u,v)=1]\)。
證明：等會補。
\(\sum_^n\sum_^m\sum_\sum_[\gcd(u,v)=1]\)
\(=\sum_^n\sum_^m \lfloor \frac n u \rfloor \lfloor \frac m v \rfloor[\gcd(u,v)=1]\)
此時兩種思考，第一種是 mobius 反演，第二種是直接利用 mobius 函式的性質。這裡展開講第二種。
\(=\sum_^n\sum_^m \lfloor \frac n u \rfloor \lfloor \frac m v \rfloor\sum_\mu_w\)
\(=\sum_^\mu_w\sum_^\sum_^\lfloor \frac n \rfloor \lfloor \frac m \rfloor\)
然後這道題就做完了。容易想到將 \(n/w\) 以及 \(m/w\) 整除分塊，字首和搞一搞即可。
SDOI2015 約數個數和
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慢慢化柿子吧 要求的是這個 sum n sum md ij 神奇的約數個數函式有乙個這樣的性質 d ij sum sum x,y 1 試著從唯一分解定理的角度去理解，將 i,j 分別分解質因數 顯然 d ij 應該等於每乙個 p 在 i,j 中分解出來的指數加起來加1再相乘 所以分別列舉所有約數的話...
SDOI2015 約數個數和
portal 考慮這樣乙個式子 d ij sum sum x bot y 怎麼證明?一開始我們一定會想到 d ij sum sum 1 但這樣會計算重複.於是我們考慮 d ij sum sum j 1 這樣每個因數就變成 frac 如果x和y不互質.那麼就會有 frac frac 如果xp,yp同時...