CKKS加密方案

本文內容來自「protecting privacy throughhomomorphic encryption」，主要學習裡面的ckks部分。

ckks是一種同態加密方案，其安全性依賴於rlwe問題。明文是實數向量，表示為定點型別計算方式（實數表示方法：浮點計算和定點計算）。該方案很支援以simd方式在這些向量之間進行定點運算。

ckks方案涉及幾個引數，這些引數決定了該方案支援的安全級別、功能和精度。這些引數是：

1、與計算精度相對應的小數字數f；

2、（最大的）密文模數q；

3、密文維數n

我們假設每乙個明文值都表示為乙個二進位制定點數，它在小數點後有f個小數字。密文的f值可以在使用重縮放後進行調整，這是ckks的乙個顯著特徵。

這裡介紹實數的表示方法：

對實數的計算有兩種表示形式

例如：

（有效位：6位；縮減因子：2^-5）

（這裡乙個實數（浮點數），可以分成兩部分表示，整數部分叫做「有效位」，小數部分叫做「縮減因子」）

1、浮點計算

（有效位：6位；縮減因子：2^-4。有效位不變，縮減因子變）

2、定點計算

（有效位：7位；縮減因子：2^-5。有效位變，縮減因子不變）

在加密解密中，定點計算更合適，因為計算消耗更小（省去了約減縮減因子的計算）

如上所述，ckks允許我們加密多個定點數字在乙個密文中（可以理解為，多個明文數字打包到乙個明文多項式，然後加密成乙個密文）。密文維數n還決定了明文多項式的大小，即n/2。

所有涉及至少乙個加密輸入的計算都會產生加密輸出。主要計算包括：

1、密文加密文

2、密文加明文

3、密文乘密文

4、密文乘明文

5、密文減密文

6、密文減明文

密文-密文和密文-明文的乘法返回乙個密文，其縮減因子是輸入值的縮減因子的乘積。

密文-密文和密文-明文加法需要輸入的縮減因子匹配（意思就是，縮減因子要一致）。

1、求逆

2、旋轉

3、重縮放

重縮放是在乘法運算之後進行，它是將輸入密文的縮放因子除以特定因子的一元運算。它控制同態計算期間縮放因子的大小。密碼模數在重新縮放操作後減小，如果密文模數太小，則不允許進一步乘法。

小數字數和加密方案支援的深度是需要考慮的主要引數。如果電路深度不超過由引數確定的界限，則可以對電路進行加密評估（意思就是可以繼續執行密文計算）。

精度損失和溢位是定點演算法的兩個主要問題。ckks中的密文在加密和計算後會產生錯誤，這是由引數f控制的。f越大意味著結果越準確，但計算成本會隨著f的增加而增加。同時，密文的大小必須充分小於密文模數q，以確保計算期間不會發生溢位。

最大密文模數q主要由待評估電路的乘法深度（意思就是可以執行多少次乘法計算）和精度引數f決定；更高的深度和更高的精度需要更大的密文模數，並且通常較慢。因此，一種常見的優化技術是將計算任務表示為深度最小的電路。例如，計算四個加密數字a、b、c和d的乘積最好是（a∗ b）∗ （c∗ d）而不是a∗ （b∗ （c∗ d）），因為前者具有較低的乘法深度，因此需要較小的密文模數。

更具體的以下面的圖為例：

一旦確定了q，現在就可以使用「全同態加密標準」中的表來確定密文維度n的下限，以達到所需的安全級別。建議應用程式開發人員使用實現「全同態加密標準」標準的庫，並自動選擇正確的表，因為選擇正確的表需要了解實現的某些細節，例如金鑰分發。

//
// created by pam on 2022/2/7.
//// 首先定義引數f：小數字數，q：密文最大模數，n：密文維數
f=2;
q=65537;
n=8;
// 使用f=2的小數字的十進位制表示
// 注意這裡的設定並不安全！
// 要獲得q=65537的方案安全性，我們至少需要n=512
// 使用這些引數，明文向量的大小為4（這裡注意，明文維數：n/2）
// 用這些引數生成金鑰
mypublickey,mysecretkey=generateckkskey(n,q);
// 加密資料時，每個明文是由4個元素組成的向量
encrypted_a = encrypt(mypublickey, [1.53, -11.53, 0.02, -3.32])；
encrypted_b = encrypt(mypublickey, [12.29, 7.52, -14.47, 11.01])；
excrypted_c = encrypt(mypublickey, [2.64, 10.78, -15.30, 13.34])；
// 現在得到了三個密文
// 現在將encrypted_a + encrypted_b
// 幸運的是，可以使用了同態加密，所以實際上可以這樣做
encrypted_d = addciphertexts(mypublickey,encrypted_a, encrypted_b)；
// 得到密文向量  [13.82, -4.01, -14.45, 7.69]
// 現在將encrypted_a * encrypted_b * excrypted_c
encrypted_e = multiplyciphertexts(mypublickey, encrypted_c,encrypted_d)；
// 得到密文向量   [36.48, -43.23, 221.09, 102.58]
// 然後向右旋轉2
// ckks中的旋轉大多就是進行對於矩陣的旋轉，通俗一點講就是，對於矩陣來說，旋轉列可能就是將一列元素進行向左或者是向右進行平移。旋轉行可能就是將矩陣的每兩行進行對調，從而實現旋轉的操作。
encrypted_f = rotateby2(mypublickey, encrypted_e)；
// 解密，使用私鑰
decrypted = decrypt(mysecretkey, encrypted_f)；
print(decrypted)；
// 輸出： [221.09, 102.58, 36.48, -43.23]

在使用ckks方案加密資料之前，需要對明文進行單獨的編碼操作。ckks編碼會導致精度損失，因此必須首先將明文向量乘以縮減因子（由方案引數確定），以確保編碼後保持足夠的精度。然後，將縮放後向量轉換為方案的明文形式。密文中隱藏的縮減因子可能發生變化正在同態計算過程中。解密後，需要進行相應的解碼操作。

密文模數（q）決定了編碼後的底層明文上限（q/2），以保證其正確解密。例如，將密文模數設定為q=1024意味著縮放因子為32，加密12.34的密文可以正確解密，但使用縮放因子為256，加密相同的值將導致溢位。

這裡不太理解： the underlying encoded plaintext，是什麼意思，好幾次見到了，希望大佬解惑？

ckks方案還使用了一些操作，這些操作不會改變底層明文（除了一些可能的精度損失之外），但出於實現原因，仍然需要這些操作。

1、密文-密文乘法和迴圈向量旋轉的***是，解密結果所需的金鑰與操作前所需的金鑰不同。因此，這些操作之後是金鑰轉換操作，以將金鑰轉換回原始金鑰。密文-密文乘法的金鑰切換操作也稱為重線性化。

重線性化：在ckks中是縮減密文的維數，保證密文的大小。

金鑰轉換：改變密文對應的金鑰，重新生成乙個新的密文，所對應的金鑰也不同！

重線性化溼金鑰轉換的乙個例項！

金鑰切換操作要求計算者能夠有乙個公開的特殊計算金鑰。計算金鑰的生成必須由私鑰所有者完成。在密文-密文乘法中，這些金鑰通常被稱為重線性化金鑰；在密文旋轉中，它們有時被稱為旋轉金鑰或伽羅瓦金鑰（galois keys）。bootstarpping過程也需要這樣的計算金鑰。

接下來搞明白rns是什麼？

以下開源庫具有ckks的開源實現：

• heaan/rns-heaan

• helib

• lattigo

• microsoft seal

• palisade

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