LOJ 6733 人造情感

loj #6733. 人造情感

先考慮如何求解 \(w(s)\)。設 \(f_u\) 為考慮子樹 \(u\) 內的路徑集合的 \(w\) 值，則有轉移

\[f_u=\max\left\_u}f_v\right\}\cup\left\(x,y)\and\operatorname_v\in \operatorname(x,y)}f_v\right\}

\]其中 \((x,y,w)\) 在給定的路經集合 \(u\) 中，且滿足條件 \(\operatorname(x,y)=u\)。直接做顯然就暴斃了，可以思考轉移的性質。

觀察發現這個轉移涉及到「路徑下方所掛的點」的求和，於是我們可以想到樹上差分。令 \(f'_u=f_u-\sum\limits__u}f_v\)，在上式中用 \(f'\) 替代 \(f\)，於是轉移就變成了：

\[f'_u=\max\\cup\left\(x,y)\and v\neq u}f'_v\right\}

\]其中 \((x,y,w)\) 在給定的路經集合 \(u\) 中，且滿足條件 \(\operatorname(x,y)=u\)。

於是現在只需實現單點加鏈求和就行了，可以用樹狀陣列維護 \(\operatorname\) 序，時間複雜度為 \(\mathcal o(n\log n)\)。

接下來考慮如何計算 \(f(x,y)\)。注意到 \(f(x,y)=f_\mathrm-h_(x,y)}-\sum\limits_(x,y)\and \operatorname_u\in\operatorname(x,y)}f_\)，其中 \(h_u\) 為考慮子樹 \(u\) 外的路徑集合的 \(w\) 值。後面涉及到「路徑下方所掛的點」的求和可以直接用樹上差分消掉，有 \(f(x,y)=f_}+\sum\limits_(x,y)}f'_u-f_(u,v)}-h_(u,v)}\)。前面有關 \(f,f'\) 的值是很容易就能求出來的，關鍵就是如何計算 \(h_\)。

類似於處理 \(f\) 的方法，我們設 \(h'_u=h_u-h__u}-\sum\limits___u}\and v\neq u}f_\)，那麼 \(h'\) 有和 \(f'\) 類似的轉移式。我們考慮列舉所有經過 \(\operatorname_u\) 但不經過 \(u\) 的路徑 \((x,y,w)\)，設 \(z=\operatorname(x,y)\)。對於當前列舉的 \(u\)，設 \(g'_v=\beginf'_v,\qquad v不是u的祖先\\h'_v,\qquad v是u的祖先\end\)，容易發現路徑 \((x,y,w)\) 對 \(h'_u\) 的貢獻為 \(w-\sum\limits_(x,y)\and v\neq z}g'_v\)。於是我們就得到了乙個樸素的做法：先列舉結點 \(u\)，然後列舉路徑集合 \(u\) 中經過 \(u\) 的路徑 \((x,y,w)\)，在更新 \(g'\) 的同時計算貢獻。該做法的時間複雜度為 \(\mathcal o(n^2)\)。

考慮優化。注意到 \(u\) 中的路徑 \((x,y,w)\) 只會對其下方掛著的所有點造成貢獻；更進一步，其對同乙個結點下掛著的所有兒子的貢獻是一樣的。設結點 \(u\) 在路徑 \((x,y)\) 上，結點 \(v\) 為結點 \(u\) 的乙個兒子，且滿足 \(v\) 不在路徑 \((x,y)\) 上。設 \(z=\operatorname(x,y)\)，那麼該路徑對 \(v\) 的貢獻為

\[\beginw-(f_x-f_z)-(f_y-f_z),\qquad\qquad\qquad\qquad\! &(u=z)\\w-(f_x-f_u)-(f_y-f_z)-(h_u-h_z),&(u\in\operatorname(x,z)\and u\neq z)\\w-(f_x-f_z)-(f_y-f_u)-(h_u-h_z),&(u\in\operatorname(y,z)\and u\neq z)\end

\]其中 \(f,h\) 分別為 \(f',h'\) 在樹上的祖先和，即有 \(f_x=\sum\limits_(\mathrm,x)}f'_y\)。上式中的第二類和第三類可以合在一起討論，因此只需要討論 \(u=z\) 和 \(u\neq z\) 的情況。

時間複雜度為 \(\mathcal o((n+m)\log n)\)。

參考**

#include using namespace std;
template_tp &min_eq(_tp &x, const _tp &y) 
template_tp &max_eq(_tp &x, const _tp &y) 
static constexpr int mod = 998244353;
static constexpr int maxn = 3e5 + 5;
static constexpr int64_t inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m;
int64_t ans;
vectorg[maxn];
namespace hld 
} // hld::predfs1
void predfs2(int u, int topv)  // hld::predfs2
inline int get_lca(int u, int v)  // hld::get_lca
inline int get_anc(int u, int k)  // hld::get_anc
inline void initialize(int root)  // hld::initialize
} // namespace hld
using namespace hld;
namespace fen 
inline void upd(int x, int64_t v) 
inline int64_t ask(int x) 
} // namespace fen
struct path  pa[maxn];
vectorplca[maxn];
int64_t f[maxn], f[maxn], f1[maxn];
void dfs1(int u, int fa)  // dfs1
void dfs11(int u, int fa)  // dfs11
int64_t h[maxn], h[maxn], h1[maxn];
namespace sgt1  // sgt1::update
int64_t query(int p, int l, int r, int l, int r)  // sgt1::query
inline void upd(int x, int64_t v) 
inline int64_t ask(int l, int r) 
} // namespace sgt1
namespace sgt2 
void update(int p, int l, int r, int l, int r, int64_t v)  // sgt2::update
int64_t query(int p, int l, int r, int x)  // sgt2::query
inline void upd(int l, int r, int64_t v) 
inline int64_t ask(int x) 
} // namespace sgt2
void dfs2(int u, int fa)  else if (xk == 0)  else 
}for (const int &v: g[u]) if (v != fa)
max_eq(h[v], sgt2::ask(label[v]));
}  for (auto [x, y, w]: plca[u])  else if (xk == 0)  else 
}  for (const int &v: g[u]) if (v != fa) dfs2(v, u);
} // dfs2
void dfs3(int u, int fa)  // dfs3
int64_t sf[maxn];
void dfs4(int u, int fa)  // dfs4
int main(void) 
hld::initialize(1);
for (int i = 1; i <= m; ++i) 
fen::clr(), dfs1(1, 0), dfs11(1, 0);
memset(sgt1::tr, -63, sizeof(sgt1::tr));
dfs2(1, 0), dfs3(1, 0);
ans = 0, dfs4(1, 0);
(ans += (int64_t)n * n % mod * (f1[1] % mod) % mod) %= mod;
printf("%lld\n", ans);
exit(exit_success);
} // main

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