在前一章我們已經看出，用泰勒級數來表示圓形區域內的解析函式是很方便的.但是對於有些特殊函式，如貝塞爾（bessel）函式，以圓心為奇點，就不能在奇點鄰域內錶成泰勒級數.為此，本章將建立（挖去奇點a的）圓環r
\[\begin
c_+c_(z-a)+c_(z-a)^+\cdots \\
\frac}+\frac}}+\cdots
\end\]
前者是冪級數，故它在收斂圓|z-a|\(\zeta=\frac\)
則它成為乙個冪級數
\[c_ \zeta+c_ \zeta^+\cdots \cdot \cdot
\]設它的收斂區域為\(|ξ|r（0≤r< + \infty）\)內錶一解析函式f（z）.
當且僅當r
\[\sum_^ c_(z-a)^\tag
\]由以上討論及定理4.10和定理4.13得
設雙邊冪級數（5.3）的收斂圓環為\(h: r
則（1）（5.3）在 h內絕對收斂且內閉一致收斂於
\[f(z)=f_1(z)+f_2(z)
\]（2）函式f（z）在 h內解析.
（3）函式 \(f（x）=\sum_^ c_(z-a)^\)
在h內可逐項求導p次（p=1，2，3...)
（4）函式 f（z）可沿 h內曲線c逐項積分. 注 定理5.1對應於定理4.13.
前面指出了雙邊冪級數在其收斂圓環內錶一解析函式，反過來有
定理5.2（洛朗定理）
在圓環\(h∶r
\[f(z)=\sum_^ c_(z-a)^\tag
\]其中
\[c_=\frac} \int_ \frac} \mathrm \zeta \quad(n=0, \pm 1, \cdots)\tag
\]\(\gamma \text |\zeta-a|=\rho(r
定義5.1
（5.4）稱為函式 f（z）在點 a的洛朗展式，（5.5）稱為其洛朗係數，而（5.4）等號右邊的級數則稱為洛朗級數.
證明了洛朗展式的惟一性後，我們就可以採用一些常用的更簡便的方法去求一些初等函式在指定圓環內的洛朗展開式（如例5.1至例5.5），只有在個別的情況下，才直接採用公式（5.5）求洛朗係數的方法（如例5.6）.
當已給函式f(z)在點a處解析時，中心在 a，半徑等於由 a到函式f（z）的最近奇點的距離的那個圓可以看成圓環的特殊情形，在其中就可作出洛朗級數展開式.根據柯西積分定理，由公式（5.5）可以看出，這個展式的所有係數\(c_n（n=1，2，，…）\)都等於零.在此情形下，計算洛朗級數的係數公式與泰勒級數的係數公式（積分形式）無異，所以洛朗級數就轉化為泰勒級數.因此，泰勒級數是洛朗級數的特殊情形.
定義5.2
如果函式 f（z）在點 a的某一去心鄰域
\(k-\:0
注 因函式f(z)在\(k-\\)內是單值的，故也稱 a 為 f（z）的單值性孤立奇點;如以後遇到 f（z）在\(k-\\)內是多值的，則稱a 為f（z）的多值性孤立奇點，即支點（由於在支點的鄰域內函式能由一支變到另一支，故函式在支點鄰域內缺少單值性.因而它以最簡單的方式破壞了函式的解析性.因此支點也是函式的奇點）.以後如無特別宣告，提到孤立奇點總指單值性孤立奇點.當然，以後也會遇到非孤立奇點.
如果 a為函式f（z）的乙個孤立奇點，則必存在正數 r，使得f（z）在點 a的去心鄰域\(k-\:0
孤立奇點是解析函式的奇點中最簡單最重要的一種型別.以解析函式的洛朗展式為工具，我們能夠在孤立奇點的去心鄰域內充分研究乙個解析函式的性質.
已經說過，如 a 為函式 f（z）的孤立奇點，則 f（x）在 a點的某去心鄰域k-內可以展成洛朗級數
\[f(z)=\sum_^ c_(z-a)^
\]我們稱非負冪部分\(\sum_^ c_(z-a)^\)為f（z）在點 a 的正則部分。而稱負冪部分\(\sum_^c_(z-a)^\)為f(z)在點a的主要部分。這是因為實際上非負冪部分表示在點a的鄰域k:|z-a|設 a為函式f（z）的孤立奇點.
（1）如果 f（z）在點 a的主要部分為零，則稱a為f（z）的可去奇點（見例5.3）.
（2）如果 f（z）在點 a的主要部分為有限多項，設為
\[\frac}}+\frac}}+\cdots+\frac}\left(c_ \neq 0\right)
\]則稱a為f（z）的 m 階極點（見例5.2）.一階極點也稱為單極點.
（3）如果 f（z）在點 a的主要部分有無限多項，則稱 a為f（z）的本質奇點（見例5.4及例5.5）.
以下我們分別討論三類孤立奇點的特徵.
如果 a為函式 f（z）的可去奇點，則有
\[f(z)=c_+c_(z-a)+c_(z-a)^+\cdots(0
上式等號右邊表圓k∶|z-a|\(f（a）=c_0\)，則f（z）在圓 k 內與乙個解析函式重合.也就是說，我們將f（z）在點a 的值加以適當定義，則點 a就是f（z）的解析點.這就是我們稱 a為f（z）的可去奇點的由來.
例如，當我們約定\(\frac z|_=1\)時，\(\frac z\)就在z=0解析了。
如果 a為函式f（z）的孤立奇點，則下列三條是等價的.因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特徵.
（1）f（z）在點 a的主要部分為零;
(2)\(\lim_ f(z)=b(≠\infty);\)
（3）f（z）在點a的某去心鄰域內有界.
如果函式 f（z）在單位圓|z|<1 之內解析，並且滿足條件
\[f(0)=0,if(z)|<1(|z|<1)
\], 則在單位圓|z|<1內恒有
\(|f(z)|≤|z|\), 且有\(|f(0)'|≤1\).
如果上式等號成立，或在圓|z|<1內一點 \(z_0≠0\)處前一式符號成立，則（當且僅當）
\[f(z)=e^z,(|z|<1),
\]其中\(\alpha\)為一實常數.
從幾何上看，施瓦茨引理表明∶任一解析變換 \(\omega=f（z）\)，f（0）=0，當它把單位圓變到乙個單位圓內的區域 \(△\)上去時，圓內任一點z≠0的像都比 z 本身距座標原點為近.而如果有乙個點的像與這個點本身距座標原點有相同距離的話，則\(△\)就與單位圓相同，變換就僅僅是乙個旋轉（圖5.3）.
注施瓦茨引理有如下乙個簡單改進;
我們保留假設條件不變.如果原點是函式 f（z）的 λ階零點，就可以考慮函式∶\(\frac\),與剛才的情形一樣，我們由此可以得到
\[|f(z)|\le|z|^
\]並且只有當\(f(z)=\mathrm^ \alpha} z^\)（a為實數）時，等號才成立。這樣，在這個特殊情形之下，函式的模就有了乙個比前面公式中更小的界限.
如果函式 f（z）以點 a為孤立奇點，則下列三條是等價的.因此，它們中的任何一條都是 m階極點的特徵.
（1）f（z）在點 a的主要部分為
\[\frac}}+\cdots+\frac}\left(c_ \neq 0\right)
\]（2）f（z）在點 a的某去心鄰域內能表成
\[f(z)=\frac}\tag
\]其中λ（z）在點a鄰域內解析，且λ（a）≠0;
(3)\(g(z)=\frac 1 \)以點 a為m 階零點（可去奇點要當作解析點看，只要令g（a）=0）.
注 第（3）條表明∶
f(z)以點a為m階極點\(\leftrightarrow\)
\(\frac 1 \)以點a為m 階零點
函式 f（z）的孤立奇點 a為極點的充要條件是
\[lim_f(z)=\infty
\]定理5.6 函式 f（z）的孤立奇點 a為本質奇點的充要條件是
\[\lim _ f(z) \neq\left\
b(\text ) \\
\infty
\end\right.\]
即\(\lim f_（z）\)不存在.
這可由定理5.3.之（2）及定理5.5得到證明.
若z=a為函式f（z）之一本質奇點，且在點 a的充分小去心鄰域內不為零，則z=a 亦必為
\(\frac 1 \)的本質奇點.
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