1 3 1 洛倫茲因子與愛因斯坦延緩(鐘慢效應)

2022-09-06 03:39:09 字數 3194 閱讀 1288

介於擔心有人看到標題就不想點開看了,這一章原來題目叫做鐘慢效應。但是我的乙個精神方面的贊助商建議我寫成愛因斯坦延緩,於是我照做了。愛因斯坦延緩本意就是越快的物體時間流逝速度越慢,相信大家都應該有所耳聞。本章節有億些的計算和練習題,沒有興趣的同學可以直接跳過練習部分(關於愛因斯坦延緩的理論部分還是有必要看看的,可以說這是狹義相對論中最重要的內容了)。

愛因斯坦車廂,高\(h\),沿\(x軸\)正方向高速運動,有一光脈衝從車廂底部發出,在車廂頂部反射回車廂底部。

\(s'系\)中,光脈衝上下往返所需時間間隔為\(δt=\frac\)

\(s系\)中,使用速度乘以時間計算出光脈衝走過的路程為\(s=\fracδt'·c\)

使用勾股定理計算出光脈衝走過的路程為\(s'=\sqrtδt·c)^2+(\fracδt'·u)^2}\)

由於光在同乙個參考係內運動路程相同,即\(s=s'\)

⇒\(\fracδt'·c=\sqrtδt·c)^2+(\fracδt'·u)^2}\)

⇒\(δt'=\frac}}=\frac}}\)

因為任何物體運動速度都無法超越光速,所以\(u

⇒\(\sqrt}<1\)

⇒\(δt'>δt\)

從這個式子中我們可以發現在\(s'系\)中,時間流逝比\(s系\)慢,即運動的時鐘會走得慢,又稱鐘慢效應

我們令\(\frac}}=γ\),又稱洛倫茲因子

因為\(\sqrt}<1\)即\(\frac<1\)

所以\(γ>1\)

\(δt'=γ·δt\)

p.s. \(γ\)(洛倫茲因子)這個東西還是十分有用的,以後幾章裡會比較詳細地講解\(γ\)的具體用途和意義

\(δt\)為某參考係中同一地點兩事件的時間間隔,稱為本徵時間,有教材稱原時間或固有時間(我個人還是比較喜歡稱作本徵時間)

宇宙射線進入大氣層,與大氣分子碰撞,產生\(μ\)子,\(μ\)子產生後高速向地球移動,速度\(u=0.998c\),\(μ\)子靜止時壽命約為\(2.15×10^\),試問為何\(μ\)子能穿過\(9km\)的大氣,使我們能在地面上觀測到?

分析:按照經典物理:\(d=ut=0.998×(3×10^8)×2.15×10^=643.71m\)

這樣算下來這顆可憐的\(μ\)子飛了不到\(700m\)就湮滅沒了。

這當然不對了。這速度\(0.998c\),一看就知道經典物理肯定要有「誤差」,那就用相對論物理試試。

考慮鐘慢效應:

在\(μ\)子參考係中:\(δt_0=2.15×10^\)

在地面參考係中:\(δt'=γ·δt_0=\frac}}=\frac}}}≈3.4×10^\)

\(d=u·δt_0=0.998×(3×10^8)×3.4×10^=10179.6m\)

這下就對了嘛,\(μ\)子在它生命的開始也是最後的\(2.15×10^s\)內還有機會從大氣層出發,來到地球表面,達到子生巔峰!多麼勵志的故事啊!一定要用來教育小朋友

由上文可知,運動的鐘走的越慢,那運動的我們手上的表肯定也越慢啦。一千公尺的成績應該以我們手上的表為準才對(畢竟要以學生的參照系為準嘛)。下面的這個情景就能讓你深刻體會到你的表慢了多少。

首先說明一點,我不是什麼軍事迷,但是也略懂一些

sr-71黑鳥戰鬥機,假設一直以速度\(u=900m/s\)做勻速直線運動,以地面為參考係。求飛機飛行多久飛機上飛行員的手錶會比地面上的鐘慢一秒?(假設在理想環境中,不計油耗,且飛行員攜帶的手錶和地面上的鐘都絕對準確)

解:設飛行員參考係經過的時間為\(δt_0\),

地面參考係經過的時間為\(δt\)

\(δt=γ·δt_0\)

\(δt-δt_0=1\)

\(⇒δt=γ·(δt-1)\)

\(⇒δt=\frac≈2.22×10^≈2023年\)

嗯,不錯不錯,也就七千多年嘛(假設有一群人,個個都能活到100歲,他們乙個死了另乙個緊接著出生,也就70個人就能解決了)。

那回到我們最開始的問題,跑步也是這樣嗎?廢話。我們還是看一下那個洛侖茲因子\(γ=\frac}}\),本身人跑的速度相對於光速就很小了,再開個平方,這數字不用四捨五入直接約等於0啊,用1減去它,再開個根,取個倒數,約等於1……

總之\(γ=1\)就完事了,得出\(δt=δt_0\)。

當然,秉持著科學的研究態度,我們還是算一下你手上的表會慢多少吧。

首先估測一下跑步速度,我作為我們班一千公尺第一名常年穩定在三分半左右(第二名差不多穩定在四分鐘)。

就算是四分半吧,\(v=\frac=\frac≈4m/s\)(四捨五入一下好算點)

\(γ=\frac}}\)

\(=\frac}}\)

由於普通計算器精度不高,於是我就用google chromeconsole計算。雖然精度也不高

不多不多!多乎哉?不多也。

所以說,用相對論解低速問題好像並沒有什麼意義,就沒有必要和體育老師爭這麼五十億億分之一秒了吧。以後和同學裝b的時候挑一些大點的資料算(記得別超過光速\(3×10^8m/s\)!)。

在某參考係中,兩事件同地發生,該參考係中時鐘測得兩事件發生時間間隔為4s。另一參照系中,測得這兩個事件時間間隔為5s,求這兩個參照系的相對速度。

解:\(δt\)為本徵時間

\(δt=γ·δt_0\)

\(γ=\frac=\frac\)

\(\frac}}=\frac\)

\(⇒u=0.6c\)

飛船以速度\(u=0.8c\)離開地球,並先後發出兩個光訊號,地球觀測者接收到兩個訊號的時間間隔為\(12s\)。問飛船上太空飛行員發出這兩個光訊號的時間間隔為多少?

解:取地球\(s系\),飛船\(s'系\)

飛船上測得本徵時間\(δt_0\)

在\(s系\)中,兩事件時間間隔\(δt=γ·δt_0\)

考慮到飛船遠離地球,在\(δt\)的時間內,飛船飛行\(u·δt\),即\(\frac\)為光訊號傳播的時間。

\(12=δt+\frac\)

\(⇒12=γ·δt_0+\frac·γ·δt_0\)

\(⇒δt_0=\frac)·γ}=\frac)·\frac}=4s\)

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