動態規劃相信大家都知道，動態規劃演算法也是新手在剛接觸演算法設計時很苦惱的問題，有時候覺得難以理解，但是真正理解之後，就會覺得動態規劃其實並沒有想象中那麼難。網上也有很多關於講解動態規劃的文章，大多都是敘述概念，講解原理，讓人覺得晦澀難懂，即使一時間看懂了，發現當自己做題的時候又會覺得無所適從。我覺得，理解演算法最重要的還是在於練習，只有通過自己練習，才可以更快地提公升。話不多說，接下來，下面我就通過乙個例子來一步一步講解動態規劃是怎樣使用的，只有知道怎樣使用，才能更好地理解，而不是一味地對概念和原理進行反覆琢磨。
數字三角形(poj1163)
在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。 三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99
輸入格式：
5 //表示三角形的行數 接下來輸入三角形
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求輸出最大和
接下來，我們來分析一下解題思路：
首先，肯定得用二維陣列來存放數字三角形
然後我們用d( r, j) 來表示第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
我們用maxsum(r, j)表示從d(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
因此，此題的最終問題就變成了求 maxsum(1,1)
當我們看到這個題目的時候，首先想到的就是可以用簡單的遞迴來解題：
if ( r == n)
maxsum(r,j) = d(r,j)
else
maxsum( r, j) = max + d(r,j)
根據上面這個簡單的遞迴式，我們就可以很輕鬆地寫出完整的遞迴**：
#include
#include
#define max 101
using namespace std;
int d[max][max];
int n;
int maxsum(int i, int j)
int main()
對於如上這段遞迴的**，當我提交到poj時，會顯示如下結果：
對的，**執行超時了，為什麼會超時呢？
答案很簡單，因為我們重複計算了，當我們在進行遞迴時，計算機幫我們計算的過程如下圖：
就拿第三行數字1來說，當我們計算從第2行的數字3開始的maxsum時會計算出從1開始的maxsum，當我們計算從第二行的數字8開始的maxsum的時候又會計算一次從1開始的maxsum，也就是說有重複計算。這樣就浪費了大量的時間。也就是說如果採用遞規的方法，深度遍歷每條路徑，存在大量重複計算。則時間複雜度為 2的n次方,對於 n = 100 行，肯定超時。
接下來，我們就要考慮如何進行改進，我們自然而然就可以想到如果每算出乙個maxsum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用n方的時間複雜度完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2
根據這個思路，我們就可以將上面的**進行改進，使之成為記憶遞迴型的動態規劃程式：
#include
#include
using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int maxsum[max][max];
int maxsum(int i, int j)
return maxsum[i][j];
} int main()
cout << maxsum(1,1) << endl;
} 當我們提交如上**時，結果就是一次ac
雖然在短時間內就ac了。但是，我們並不能滿足於這樣的**，因為遞迴總是需要使用大量堆疊上的空間，很容易造成棧溢位，我們現在就要考慮如何把遞迴轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。
我們首先需要計算的是最後一行，因此可以把最後一行直接寫出，如下圖：
現在開始分析倒數第二行的每乙個數，現分析數字2，2可以和最後一行4相加，也可以和最後一行的5相加，但是很顯然和5相加要更大一點，結果為7，我們此時就可以將7儲存起來，然後分析數字7，7可以和最後一行的5相加，也可以和最後一行的2相加，很顯然和5相加更大，結果為12，因此我們將12儲存起來。以此類推。。我們可以得到下面這張圖：
然後按同樣的道理分析倒數第三行和倒數第四行，最後分析第一行，我們可以依次得到如下結果：
#include
#include
using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int maxsum[max][max];
int main()
我們的**僅僅是這樣就夠了嗎？當然不是，我們仍然可以繼續優化，而這個優化當然是對於空間進行優化，其實完全沒必要用二維maxsum陣列儲存每乙個maxsum(r,j),只要從底層一行行向上遞推，那麼只要一維陣列maxsum[100]即可,即只要儲存一行的maxsum值就可以。
對於空間優化後的具體遞推過程如下：
接下裡的步驟就按上圖的過程一步一步推導就可以了。進一步考慮，我們甚至可以連maxsum陣列都可以不要，直接用d的第n行直接替代maxsum即可。但是這裡需要強調的是：雖然節省空間，但是時間複雜度還是不變的。
依照上面的方式，我們可以寫出如下**：
#include
#include
using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int * maxsum;
int main()
接下來，我們就進行一下總結：
遞迴到動規的一般轉化方法
遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列的下標是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始， 逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程。
動規解題的一般思路
1. 將原問題分解為子問題
把原問題分解為若干個子問題，子問題和原問題形式相同或類似，只不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解決(數字三角形例）。
子問題的解一旦求出就會被儲存，所以每個子問題只需求 解一次。
2.確定狀態
在用動態規劃解題時，我們往往將和子問題相關的各個變數的一組取值，稱之為乙個「狀 態」。乙個「狀態」對應於乙個或多個子問題， 所謂某個「狀態」下的「值」，就是這個「狀 態」所對應的子問題的解。
所有「狀態」的集合，構成問題的「狀態空間」。「狀態空間」的大小，與用動態規劃解決問題的時間複雜度直接相關。 在數字三角形的例子裡，一共有n×(n+1)/2個數字，所以這個問題的狀態空間裡一共就有n×(n+1)/2個狀態。
整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需時間。在數字三角形裡每個「狀態」只需要經過一次，且在每個狀態上作計算所花的時間都是和n無關的常數。
3.確定一些初始狀態（邊界狀態）的值
以「數字三角形」為例，初始狀態就是底邊數字，值就是底邊數字值。
4. 確定狀態轉移方程
定義出什麼是「狀態」，以及在該「狀態」下的「值」後，就要找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從乙個或多個「值」已知的 「狀態」，求出另乙個「狀態」的「值」(遞推型)。狀態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作「狀態轉移方程」。
數字三角形的狀態轉移方程:
能用動規解決的問題的特點
1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的 子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結 構性質。
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