(a)：
首先要把要證明的東西泛化，記$n^3$ = f(n)。通過觀察n=3時的取值，1,3,5,7,9,11,13，f(3)是前6個奇數的和減去前3個奇數的和。
f(n)就是前n(n+1)/2個奇數的和，減去前(n-1)n/2個奇數的和。求前k個奇數的和比較簡單，(1 + 2k - 1) k / 2 = $k^2$，這也是本節eq(2)的結論。於是：
$f(n) = [n(n + 1) / 2]^2 - [(n - 1)n / 2]^2 = ((n^2) / 4) ((n + 1)^2 - (n - 1)^2) = ((n^2) / 4) 4n = n^3$
暈，這不轉一圈又轉回來，直接推導證明了嗎。怎麼用數學歸納法證明呢？沒想出來，只好看答案。
(b)：
計算f(1) + f(2) + $\cdots$ + f(n - 1) + f(n)更簡單了，有前後項抵消：
$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = [n(n + 1) / 2]^2 - [(1 - 1)1 / 2]^2 = (n(n + 1) / 2)^2$
括號裡是前n項求和公式，也得證。
(a)：
第一步仍是泛化，不過不是使用兩列相減的方法，而試圖找出f(n)中的第一項，進而寫出f(n)的所有項。 f(n)的第一項是第(n - 1)n / 2 + 1個奇數，第k個奇數的值是2k - 1，所以f(n)中第一項是$(n - 1)n + 2 - 1 = n(n - 1) + 1 = n^2 - n + 1$ 。進而可得f(n)的最後一項是 $(n + 1)^2 - (n + 1) + 1 - 2 = n^2 + 2n + 1 - n - 2 = n^2 + n - 1$ 。所以f(n)就是這n個數的和：
$f(n) = (n^2 - n + 1) + \cdots + (n^2 + n - 1) = (n^2 - n + 1 + n^2 + n - 1) n / 2 = n^3$
又推導出來了。不過答案就是答案，又用了數學歸納法證明，其實就是只寫出第一步的等式，不繼續推導嘛。
n = 1時，f(1) = 1，成立。
n > 1時，f(n + 1) = $((n + 1)^2 - (n + 1) + 1) + \cdots + ((n + 1)^2 + (n + 1) - 1)$，注意這裡是n + 1項了。
f(n + 1)中的每一項：$(n + 1)^2 - (n + 1) = n^2 + n$，都比f(n)中的對應項：$n^2 - n$，大2n，由此建立了f(n + 1)與f(n)的關係。
$f(n + 1) = f(n) + 2n * n + ((n + 1)^2 + (n + 1) - 1) = n^3 + 2n^2 + (n^2 + 3n + 1) = (n + 1)^3$
得證。(b)：
$f(1) + \cdots + f(n)$ = 前n(n + 1) / 2個奇數的和 = $(n(n + 1) / 2)^2$ = $(1 + \cdots + n)^2$
再次使用了eq.(2)：前k個奇數的和是$k^2$。
令最小的正方形的邊長為1，那麼從中心向外，正方形的邊長依次是：1，2，3，4，5。邊長為n的那一圈，每邊有n + 1個正方形。整個正方形的邊長有兩種表示方法：
(1) 以最外層計算，side = n(n + 1)
(2) 從最外層開始，每層取乙個正方形，依次向內計算，side = 2(n + (n - 1) + $\cdots$ + 1)
整個正方形的面積不能使用邊長平方的表示，因為那是最終等式的條件。面積採用累加所以小正方形面積的方法：
area = $4 * n * n^2 + 4(n - 1)(n - 1)^2 + \cdots + 4*1 = 4(1^3 + 2^3 + \cdots + n^3)$
綜上，我們等到了等價的兩個等式：
$(n(n + 1))^2 = 4(1^3 + \cdots + n^3) \quad \rightarrow \quad 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (n(n + 1) / 2)^2$
$(2(1 + 2 + \cdots + n))^2 = 4(1^3 + \cdots + n^3) \quad \rightarrow \quad 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + \cdots + n)^2$
TAOCP 1 2 2 25 習題25的證明
參考原文 基本思想是將x表示為乘積 x prod 其中，a i ge a 1 如此一來，有 log b sum log b 每次執行到l4，我們都得到了乙個最小的k，使得針對本次迭代的輸入x，有 fracx ge 1 x geq frac 1 取 a 1 2 k 2 k 1 則 x a 1x x f...
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