今天補上前天的欠賬。斜率優化。。。
動態規劃是一種非常重要的思想，它的重點在於合理的表示出問題中的狀態，不重不漏，讓問題變得合理有序，狀態之間並可以高效的轉移，從而方便地解決問題。
然而，乙個方程在轉移過程中可能會做許多無用功。這時我們就要合理的優化狀態轉移過程，捨棄那些一定不為最優解的決策，是動態規劃得到優化。而怎樣判斷什麼一定不是最優決策呢？這是我們就要去探求決定決策一與決策二優劣程度的內在條件，有時他是和狀態無關的（當前狀態一旦確定，那麼兩個決策的優劣程度就確定了）。看起來括號裡的是廢話，但如果我們將上乙個狀態的決策優劣程度應用於當前的決策，我們就可以，不必迴圈所有決策就可以找到最優決策，當然這是某些情況下。
斜率優化便是利用這樣的思想，巧妙的利用斜率的大小將決策的優劣程度直觀的展現出來，使問題的時間複雜度大幅下降，甚至到達問題的下界。這是乙個經典的思想，直觀的表示，高效的轉移，極低的程式設計複雜度，使它成為優秀的演算法。
先來看乙個例題：
【問題描述】
n個任務排成乙個序列在一台機器上等待完成（順序不得改變），這n個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻0開始，這些任務被分批加工，第i個任務單獨完成所需的時間是ti。在每批任務開始前，機器需要啟動時間s，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以乙個費用係數fi。請確定乙個分組方案，使得總費用最小。
例如：s=1；t=；f=。如果分組方案是、、，則完成時間分別為，費用c=，總費用就是153。
【輸入格式】
第一行是n(1<=n<=5000)。
第二行是s(0<=s<=50)。
下面n行每行有一對數，分別為ti和fi，均為不大於100的正整數，表示第i個任務單獨完成所需的時間是ti及其費用係數fi。
【輸出格式】
乙個數，最小的總費用。
【輸入樣例】batch.in
1 33 2
4 32 3
1 4【輸出樣例】batch.out
直接上方程吧。。。
start表示啟動時間，sumt[i]表示前i個任務的時間和，sumf[i]表示i到n的費用和。
考慮對於確定狀態i來說的，a和b兩個決策。
假設決策a優於決策b，即：
變形得：
觀察發現關於決策的幾項被放在了同一邊，那麼便符合了上文提到的」決策優劣的無關性』』。此時考慮表示式的形式，有些與斜率形似。那麼是否可以考慮使用數形結合呢？
將決策排成一排（如圖中的節點），那麼相鄰兩個節點間的連線的斜率便可以表示，關係始終的左側。而右側是關於i的表示式，他是判斷狀態i時兩決策優劣的標準，即用斜率的之和標準比較即可得到優劣關係，而決策間的斜率是和狀態無關的，以下稱之為篩選斜率。
那麼對於斜率不斷增大的一排點來說，若隊頭兩點的斜率大於篩選斜率，那麼對優劣性來說，前乙個決策均優於後乙個決策。那麼我們就可以直接選第乙個決策作為最優決策。可是實際上我們將1到i-1的所有決策均表示在座標系中時，斜率並不是單調遞增的。那麼，如何選出最優決策呢？
我們發現導致斜率非單調遞增的節點就是形如上圖中的紅色節點。他顯然不在所有決策的下凸殼上，而我們可以證明的是，』』這樣』』的點當篩選斜率為任何值時，其均不為最優決策。
方法是通過分類討論，讀者可以自己嘗試證明一下。
這樣我們就獲得了乙個決策的下凸殼，可以方便的選出決策。我們現由最簡單的情況引入，若題目中決策點的x座標是隨狀態單調遞增的，且篩選斜率也為單調遞增的。就像本題中的sumf（x座標），start+sumt（篩選斜率）。那麼，我們可以直接在隊頭刪除斜率小於篩選斜率的節點（這些決策是劣於後乙個決策的），知道篩選斜率小於隊頭斜率，那麼，隊頭便為最優決策。每次在隊尾加入決策（因為決策x座標單調），刪除不在凸殼上的點即可。這樣通過乙個雙端佇列，維護狀態i的最優決策，時間複雜度為o(n)。
再考慮第二種情況，若篩選斜率不為單調怎麼辦？我們可以發現，我們無法再刪除隊頭結點了，因為之前刪除的節點可能因為篩選斜率的減小再一次成為最優決策。那麼考慮，什麼樣的節點是最優的，即它和前面的節點的斜率小於篩選斜率，而和後面節點的斜率大於篩選斜率，顯然其為最優決策。而斜率是單調的，我們可以採用二分法，時間複雜度為o(nlogn)。
還有一種比較坑爹的情況，那就是決策點的x座標不是單調的，那麼意味著我們在增加決策的時候，不一定在隊尾增加。這是我們只能動態的維護乙個凸包，這是極其麻煩的，用到平衡樹來維護，想法是比較簡單的，就是實現無限悲劇啊。
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