暴力搜尋演算法，記憶搜尋演算法，動態規劃演算法

以下這道題通過一步一步的分析優化可以看出暴力搜尋方法，記憶搜尋方法，動態規劃方法的優化過程，往往寫出暴力搜尋方法是比較容易的，這樣一步步的分析可以更好的理解動態規劃方法。

題目：給定陣列arr，arr中所有的值都為正數且不重複。每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求換錢有多少種方法。

令arr=，aim=1000。

過程：用0張5元，讓去組成剩下的1000，方法記作res1

用1張5元，讓去組成剩下的995，方法記作res2

用2張5元，讓去組成剩下的990，方法記作res3

……………………

用200張5元，讓去組成剩下的0，方法記作res201

這樣得到的每個結果，再用其他面值的貨幣去組成剩下的錢，利用遞迴，算出每個結果下剩下的錢有多少種組合，再把這201個結果的組合數相加得到最終的結果數。

**如下：

public int coins1(int arr, int aim) 
return process1(arr, 0, aim);
}public int process1(int arr, int index, int aim)  else 
}return res;
}

以上就是遞迴得出結果。暴力搜尋演算法之所以暴力，就是需要重複之前的計算，之前已經計算過的，在後面的還要再計算一遍，比如使用0張5元和1張10元的情況下，那麼後續process1方法的引數將是process1（arr，2，990），當用2張5元和0張10元的時候後續還是要計算process1（arr，2，990），因為錢數是固定的，用不同種的組合會有相同的條件下出現。這樣會多出很多不必要的過程，非常影響效率。

記憶搜尋方法：

之前我們進行計算的時候，process1中的引數，arr是不變的，只有index和aim在變，之所以暴力方法的時間長，是因為計算了很多重複的資料，既然要優化，減少複雜度，就要程式減少或者不進行重複的計算，只需要把之前計算的結果記錄下來，這樣後面再計算的時候，先進行判斷，是否之前計算過，如果沒有計算過，再進行遞迴計算，這樣減少了很多的遞迴過程，可以提高很多效率。新增乙個二維陣列，這個二維陣列記錄的就是process2中變化的後面兩個引數，把計算過的結果存在裡面，後續的計算前，先進行判斷。

public int coins2(int arr, int aim) 
int map = new int[arr.length + 1][aim + 1];
return process2(arr, 0, aim, map);
}public int process2(int arr, int index, int aim, int map)  else  else }}
map[index][aim] = res == 0 ? -1 : res;
return res;
}

簡單的說暴力搜尋演算法和記憶搜尋演算法，記憶搜尋之所以比暴力快，因為記憶搜尋演算法把之前計算過的過程記下來了，有就直接用，沒有就算

記憶搜尋方法就是動態規劃的一種，記憶搜尋方法知識記錄哪些過程計算過，哪些沒有計算過，而動態規劃方法是記錄下來了每個計算的路徑，怎麼計算出這個的，後面的計算都會用到之前的計算過程。動態規劃規定了計算順序，而記憶化搜尋方法不規定順序，只關心結果

我們用乙個二維陣列（矩陣）dp記錄，dp[i][j]表示使用arr[0……i]組成總數為j的方法數，dp矩陣的求法和分析如下：

對於矩陣dp第一列dp[i][0]，表示的是組成錢的總數為0的組合數，只有一種，什麼也不用，dp矩陣的第一列的值都設定為1

對於矩陣dp第一行dp[0][i]，表示的是用陣列中下標為0的元素，可以組合成什麼樣的錢數，陣列中第乙個元素是5，很明顯可以組成5，10，15……，5的倍數，這樣把成倍數關係的位置也設定為1,也就是dp[0][arr[0] * j] = 1，j是滿足大於0，arr[0]*j小於等於錢的總數

對於剩下的任意dp[i][j]，我們依次從左到右，從上到下計算，dp[i][j]的值可能來自下面：

public int coins3(int arr, int aim) 
int dp = new int[arr.length][aim+1];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++) 
int num = 0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) 
dp[i][j] = num;}}
return dp[arr.length-1][aim];
}

但是還有乙個問題，實際執行就會發現，其實我們每次求得方法數還是把之前的運算結果列舉出來,在實際的執行時間上也可以看出來實際上時間並沒有減少

我們接著優化其實我們發現要計算dp[i][j]的值就是dp[i][j-arr[i]]+dp[i-1][j],

這樣我們可以通過前面的結果直接可以得到最後的結果，沒有必要再去挨個求

public int coins3(int arr, int aim) 
int dp = new int[arr.length][aim+1];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++) 
int num = 0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) 
}return dp[arr.length-1][aim];
}

只是改變了一點，執行時間上已經可以達到1ms

動態規劃把狀態的計算順序規定了，所以較記憶搜尋方法比動態規劃時間複雜度大

面對暴力搜尋的優化：先用常見的遞迴方法寫出暴力搜尋方法，看暴力搜尋方法中得到值的哪些可以記錄下來，代表遞迴過程的引數，得到記憶搜尋方法。

動態規劃自我感覺真的好難，其實最好想的就是記憶搜尋方法，接著看看哪些可以一步步的優化

參考：程式設計師**面試指南--左程雲

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演算法記憶化搜尋演算法

非常暴力的搜尋演算法深度優先搜尋演算法

A 搜尋演算法

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