學習筆記常係數齊次線性遞推

給定乙個 \(k\) 階常係數齊次線性遞推數列的前 \(k\) 項 \(h_1, h_2, h_3..h_k\) 和線性遞推式 \(h_n = \sum_ ^ k a_i h_\)，求這個數列的第 \(n\) 項。

複雜度要求： \(o(k^2logn)\)

加強： \(o(klogklogn)\)

設 \(a\) 是 \(n\) 階方陣，如果存在數 \(\lambda\) 和非零 \(n\) 維列向量 \(x\)，使得 \(ax=\lambda x\) 成立，則稱 \(\lambda\) 是矩陣 \(a\) 的乙個特徵值。

設 \(e\) 為單位矩陣，\(n\) 階方陣 \(a\) 的特徵多項式為 \(|\lambda e - a|\)

解釋一下：\(\lambda\) 為乙個變數。 \(\lambda e - a\) 的行列式是乙個關於 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多項式，即 \(a\) 的特徵多項式。

特徵值是 \(|\lambda e - a| = 0\) 的根。

設 \(a\) 的特徵多項式為 \(p_a\)，\(o\) 為零矩陣。用矩陣 \(a\) 代替 \(\lambda\) 帶入特徵多項式，有 \(p_a(a) = o\)

簡要證明一下：把 \(a\) 直接帶進特徵多項式， \(p_a(a) = |ae - a| = 0\)

其實我並不會證這個東西。自學的線代等於沒學

現在我們已經熟背了cayley-hamilton定理。

考慮計算一下矩陣快速冪的轉移矩陣 \(m\) 的特徵多項式。

設 \(m_\) 為去掉位置 \((x,y)\) 的代數余子式，\(m_\) 為 \((x,y)\) 位置上的元素，直接對第 \(1\) 行拉普拉斯展開，\(m = \sum_^k m_ m_\) ，可以發現去掉第一行第 \(i\) 列之後留下的是乙個下三角矩陣，\(m_ = (-1) ^ (-1)^\lambda^\),\(m_ =\lambda-a_1,m_ = -a_i\)，整理一下就得到：

\[|e\lambda - m| = \lambda ^ k - a_1 \lambda ^ - a_2 \lambda ^ - ... - a_n

\]由 cayley-hamilton定理，我們得到 \(p_m(m) = o\)

現在我們用 \(n\) 代替 \(n - k\)，我們要求出 \(m^n\)

\(m^n= p_m(m) a(m) + r(m)\)，其中\(r(m)\) 的次數不高於\(k - 1\)

因為 \(p_m(m) = o\)，得到 \(m^n = r(m)\)

我們現在只需要求 \(m^n \mod p_m(m)\)

因為 \(ab \mod c = (a \mod c)(b \mod c) \mod c\)，所以可以快速冪計算 \(m^n \mod p_m(m)\)

直接暴力複雜度 \(o(k^2logn)\), 用多項式乘法和取模可以做到 \(o(klogklogn)\)

現在得到了 \(m^n = r(m) = \sum_ ^ c_i m ^ i\)

再分析一下就可以得到 \(ans = \sum_ ^ c_i h_\)

再暴力或者 ntt 處理一下前 \(h\) 的前 \(2k\) 項就好了。

需要注意，當 \(k = 1\) 時，\(m^1\) 需要對 \(p_m(m)\) 取模。

bzoj4161: shlw loves matrixi

這道題裡面 \(h\) 的下標是從 \(0\) 開始的。

#pragma gcc optimize("2,ofast,inline")
#include#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define pii pairusing namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
template t read(t &x) 
inline void upd(int &x, int y) 
inline int add(int x, int y) 
inline int dec(int x, int y) 
namespace linear 
}	}void mul(int *x, int *y, int *z) 
}		module(res);
for (int i = 0; i < k; ++i) z[i] = res[i];
}	void poly_pow(int p) 
}    
int solve() 
}		int ans = 0;
for (int i = 0; i < k; ++i)
upd(ans, 1ll * c[i] * h[i + k] % mod);
return ans;	}}
using namespace linear;
int main() 
for (int i = 1; i <= k; ++i) 
cout << solve() << endl;
return 0;
}

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