Coq基礎 四 多型

多型

在前面所定義的鍊錶中，鍊錶的元素都是自然數，（或者partitialmap中以乙個二元元組為元素），但這些都存在著乙個問題：所有型別的鍊錶都在定義的都限制了鍊錶的元素為某乙個確定的型別，這樣就不太靈活了，如果需要定義的鍊錶型別比較多的話，那麼就需要為每一種型別的鍊錶單獨寫一段宣告**。

比如，需要乙個布林型別的鍊錶：

inductive boollist : type :=

|bool_nil
| bool_cons (b : bool) (l : boollist).

為了避免這樣的重複，coq提供了一種稱為多型的宣告機制：

inductive list (x:type) : type :=

|nil
| cons (x : x) (l : list x).

(* ===> list : type -> type *)

check (nil nat).

(* ===> nil nat : list nat *)

check (cons nat 3 (nil nat)).

(* ===> cons nat 3 (nil nat) : list nat *)

check nil.

(* ===> nil : forall x : type, list x *)

check cons.

(* ===> cons : forall x : type, x -> list x -> list x *)

這種型別的宣告語句需要在宣告該型別的變數時多添建乙個引數：元素的型別。

arguments nil .

arguments cons  _ _.

用同樣的方法可以定義元組：

inductive prod (x y : type) : type :=

|pair (x : x) (y : y).
arguments pair   _ _.
notation 
"( x , y )
" := (pair x y).

以函式為引數的函式

和許多現代程式語言一樣coq允許函式作為引數傳遞給其他函式或者作為返回結果，如下：

definition doit3times  (f:x->x) (n:x) : x :=f (f (f n)).

proof. reflexivity. qed.

將這類函式稱為高階函式，下面是乙個比較有用的高階函式，以乙個鍊錶以及布林型別的函式作為引數，然後返回乙個新的鍊錶這個鍊錶中的元素都能滿足使那個布林函式返回true，filter

fixpoint evenb (n:nat) : bool :=match n with

| o        => true
| s o      => false
| s (s n'
) => evenb n
'end.
fixpoint evenb (n:nat) : 
bool :=match n with
| o        => true
| s o      => false
| s (s n'
) => evenb n
'end.
example test_filter1: filter evenb [
1;2;3;4] = [2;4
].proof. reflexivity.  qed.

匿名函式：一般的函式在定義的時候都需要宣告其函式名，然而在將函式作為引數傳遞給另乙個函式的時候，可以使用匿名函式：

example test_anon_fun'

:  doit3times (fun n => n * n) 2 = 256
.proof. reflexivity.  qed.

此外，還有乙個比較有用的高階函式，同樣的以乙個函式以及乙個鍊錶作為引數，然後對鍊錶中的每個元素都執行一次函式的操作，將函式的返回值插入乙個新煉表中，稱為map：

fixpoint map  (f:x->y) (l:list x) : (list y) :=match l with

|      =>
| h :: t =>(f h) :: (map f t)
end.
example test_map1: map (fun x => plus 3 x) [2;0;2] = [5;3;5
].proof. reflexivity.  qed.

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