作者在數字影象學習過程中，需要對影象進行空間域和頻率域的轉換，而傅利葉變換是進行空域（或時域）到頻域變換的重要手段，因此對傅利葉變換做了深入研究。本文只是作者的學習心得，不適合作為學習材料，僅作交流之用。
傅利葉級數是高等數學的內容，傅利葉變換是傅利葉級數的發展。傅利葉級數是將複雜的週期函式用一系列簡單的正余弦函式之和表示，而傅利葉變換則將非週期函式視作週期無窮大的週期函式求其「傅利葉級數」。
我們生活的世界有兩個重要的屬性，乙個是時間，另乙個是空間。在時間域上我們看到了乙個二維的世界，時間佔了乙個維度，另乙個維度是世界的片段；在二維空間域上我們看到了乙個三維的世界，二維空間佔了兩個維度，另乙個維度是世界的片段。為什麼要說這個，是因為影象處理是二維空間的處理，因此是空間域（其實是二維空間域）上的處理。與此相關聯，音訊的處理是時間域上的處理，而做三維物體分析的話則是三維空間上的處理，可以稱之為三維空間域上的處理。
但是，這種在時域、空域上的處理，往往只是片面的。很多問題在頻域中解決將會簡單得多。比如濾波操作，在頻域進行濾波就像加減法一樣簡單。
一語概之，傅利葉級數是將複雜的、週期性的連續函式分解為一系列簡單的正余弦函式之和。那一系列正余弦函式構成的就是頻率域，以正余弦函式的頻率為橫座標，振幅為縱座標得到的函式是頻率域影象。
圖1 傅利葉級數
（來自於wikipedia）
圖1表示的函式 s(x) （紅色）是六個不同幅度的諧波關係的正弦函式的和。它們的和叫做傅利葉級數。傅利葉變換 s(f) （藍色），針對幅度與頻率進行描繪，顯示出6種頻率和它們的幅度。
如果說傅利葉級數是將週期性函式用振盪集合表示，那麼傅利葉變換就是將非週期性函式用振盪集合表示。
傅利葉變換將複雜函式分解為振盪集合，確定振盪分量的要素有三：頻率、振幅、相位。在頻率譜中可以得到各個頻率對應的振幅，在相位譜中則可以得到各個頻率對應的相位。由此可以看出，傅利葉變換是沿著頻率軸來尋找振盪分量的，每一種頻率的振盪振幅和相位是多少，就是頻率譜和相位譜。
尤拉公式是復分析領域的公式，其物理意義是螺旋線。在實軸上的投影是余弦函式，在虛軸上的投影是正弦函式，二者疊加起來就是不斷前進的圓周運動，構成了螺旋線。
為什麼要提及尤拉公式？因為振盪的表示不僅可以用正余弦函式來表示，也可以用尤拉公式來表示（也即複數表示）。
上述兩式分別表示兩個方向相反的螺旋。
兩種螺旋線疊加之後幅度減半，可以得到正余弦函式。
*之所以將尤拉公式稱為最完美的公式，是因為當t=π時，尤拉公式變為
e^(iπ) +1=0
在乙個形式簡單的公式中，有自然底數e、虛數i、圓周率常數π、自然數0和1。
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