(2017浙江省數學競賽）
設數列$\$滿足:$|a_-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in n^+$
證明:如果$a_1$為有理數,則從某項後$\$為週期數列.
分析:若$a_1\in q$由$|a_-2a_n|=2$知道$a_n\in q$.
設$a_n=\dfrac,(p,q)=1$則$a_=2a_n\pm2=\dfrac$故$a_n,a_$ 在不約分的情況下分母相同.
設$a_1=\dfrac,(b_1,p)=1$則$a_n=\dfrac,b_n\in z$,由已知$|a_n|\le 2$故$-2|p|\le b_n\le 2|p|$,故$a_n$的個數至多$4|p|+1$個,故存在整數$k注:這裡主要考察乙個週期數列的定理:
值域是有限數集的遞推數列從某項起是週期數列.
證明:設$a_=f(a_,a_,\cdots,a_n),n\in n^*$ 且$\$的值域為$d=\$
構造陣列$(a_1,a_2,\cdots,a_r),(a_2,a_3,\cdots,a_),\cdots,(a_n,a_,\cdots,a_),\cdots$
顯然這些陣列至多$m^r$個,由抽屜原理,$m^r+1$個中至少有兩個是相等的,
不妨設$(a_n,a_,\cdots,a_)=(a_,a_,\cdots,a_)$,
從而$a_=a_,k=0,1,2,\cdots r-1$.
下面用數學歸納法證明:$n\ge n$時$a_=a_n$恆成立
(1)當$n=n,n+1,\cdots n+r-1$時,由上述論述$a_n=a_$成立
(2)假設當$n\le k(k\ge n+r-1)$時$a_=a_n$成立,
那麼$n=k+1$時,$a_=f(a_,a_,\cdots,a_)=f(a_n,a_,\cdots,a_)=a_$
綜上由(1)(2)知對任意$n\ge n,a_=a_n$成立.