BZOJ 2006 NOI2010 超級鋼琴

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有 nn 個音符，編號為 11 至 nn 。第 ii 個音符的美妙度為 aiai 。

我們要找到 kk 段超級和弦組成的樂曲，每段連續的音符的個數 xx 滿足 l≤x≤rl≤x≤r ，求樂曲美妙度的最大值。

solutionsolution

貪心 + 堆 + rmq

首先可以看到，每段超級和弦都是連續的，美妙度是這段區間內所有美妙度的和。可以想到，每次求解區間和顯然是不合算的，所以考慮到用字首和。

考慮暴力，我們需要把所有滿足條件的字段抽出來排個序，但這實在是不可想象。所以考慮使用貪心思想來解決這個問題。

先想預處理。我們定義 max(o,l,r)=maxmax(o,l,r)=max ,即以 oo 為右端點，左端點範圍是 [l,r][l,r] 的最大子段。求 sum()sum() 就用前面說的字首和。可以看出，oo 的位置是固定的。所以 sum(o)sum(o) 也是固定的。所以我們要求這個的最大值，只要 sum(t−1)sum(t−1) 最小就可以了。即要求 sum(t−1)sum(t−1) 在 [l,r][l,r] 中的最小值，那怎麼快速地求出這個最大值呢？很顯然，這不是 rmqrmq 的活麼。對 rmqrmq 不熟悉的可以參考這。當然，具體計算的時候還要看看下界 ll 是否低於了 11 。

接下來想怎麼貪心。我們可以每次都選最優的子段，這樣選 kk 次顯然就是我們所要的結果，那怎麼找到最優解呢？用堆來將解存進去，每次堆頂的元素就是最優解。

考慮乙個三元組 (o,l,r)(o,l,r) 表示以 oo 為右端點，左端點的選擇區間為 [l,r][l,r] 的情況，我用了乙個 structstruct 來表示這個三元組，但往往實際上每個情況需要額外記錄這個情況的最優解 tt ，這個不麻煩，在 structstruct 裡面敲乙個建構函式就可以了。

我們假設當前最大的三元組是 (o,l,r)(o,l,r) 。最優解位置是 tt 。ansans 累加這個三元組的貢獻。由於 tt 已經被選中，對於這個 oo， tt 已經不能重複選中，但最優解還可能存在於 tt 左右的兩端區間中，所以提取出 (o,l,r)(o,l,r) 之後，為了避免重複且不喪失其他較優解，我們仍然要把 (o,l,t−1)(o,l,t−1) , (o,t+1,r)(o,t+1,r) 扔回堆裡面去。顯然地，在放回去之前應該保證區間的存在，即 l=tl=t 或 r=tr=t 的情況要進行特判。

最後實現的時候還要注意一點，rmqrmq 原本陣列裡面記錄的是最優解的值，但我們查詢區間最大值的時候查詢的是最優解的位置。所以陣列裡面存的是最優解的位置，要特殊處理。

codecode

#include

#define maxn 500005

#define log 20

#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))

#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

long long sum[maxn], st[maxn][log];

namespace rmq

void init(int n)

int query(int l, int r)

}struct element

element(int o, int l, int r) : o(o), l(l), r(r), t(rmq::query(l, r)) {}

friend bool operator < (const element& a, const element& b)

};std::priority_queue< element > q;

int main()

rmq::init(n);

for (int i = l; i <= n; i++)

q.push(element(i, max(1, i - r + 1), i - l + 1));

long long ans = 0;

while (k--)

printf("%lld\n", ans);

return 0;

}————————————————

BZOJ 2006 NOI2010 超級鋼琴

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