看這樣乙個問題：在乙個三維座標系中，有若干個點，每個點都有對應的座標 \((x_i , y_i , z_i)\) ，我們要對於每個點求所有滿足 \(x_j <=x_i, y_j <= y_i , z_j <= z_i\) 的 j 的數量。
考慮在二維平面上怎麼做：我們可以將所有點按照 x 座標排序，再用乙個樹狀陣列或者其他資料結構維護 y 座標，每次讀到乙個點就統計答案，然後將這個點加入樹狀陣列。這樣可以同時保證 x，y 座標都滿足條件。
如果這時再多一維，我們就沒辦法再用這種方法排序了，按照一維排序必然會打亂另外兩維。這時我們考慮cdq分治，先按 x 座標排序，然後對序列進行分治，每次分出左右兩段子序列，這時我們可以發現，左序列中每個點的 x 座標小於右序列中點的 x 座標，這時分別將左右序列按照 y 座標排序。統計答案時，只更新右序列中點的答案，只在樹狀陣列中加入左序列的點。
模版：p3810 【模板】三維偏序（陌上花開）
#include #include #include #include #include using namespace std;
const int n = 100005;
const int m = 200005;
int c[m], n, maxk, nn, ans[n];
struct node e[n];
int lowbit(int x)
void add(int x, int k)
int query(int x)
bool cmp1(node x, node y)
void cdq(int l, int r)
while(i <= mid) add(e[i].c, e[i].tot), p[++pt] = e[i++];
while(j <= r) e[j].num += query(e[j].c), p[++pt] = e[j++];
for(int t = l; t <= mid; t++) add(e[t].c, -e[t].tot);//樹狀陣列清空
for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) e[u] = p[t];//更新序列
}int main()
sort(e + 1, e + 1 + nn, cmp1);//先按照第一維排序
n = 1;
for(int i = 2; i <= nn; i++)
cdq(1, n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int i = 0; i < nn; i++) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
考慮如和將其轉化為三維偏序問題，我們要計算刪除乙個點對答案對貢獻，即刪除的這個點左邊比它大的點的數量和右邊比他小的點的數量，這樣三維分別是刪除順序，序列中位置，元素大小。
#include #include #include #include #include using namespace std;
typedef long long lld;
const int n = 100005;
const int m = 50005;
int n, m, pos[n], ansper[n], ansnxt[n];
struct node e[n], a[n];
int c[n];
int lowbit(int x)
void add(int x, int k)
int query(int x)
void cdq_per(int l, int r)
}while(i <= mid) add(e[i].y, 1), p[++pt] = e[i++];
while(j <= r)
for(int k = l; k <= mid; k++) add(e[k].y, -1);
for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) e[u] = p[t];
}void cdq_nxt(int l, int r)
}while(i <= mid) add(a[i].y, 1), p[++pt] = a[i++];
while(j <= r)
for(int k = l; k <= mid; k++) add(a[k].y, -1);
for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) a[u] = p[t];
}int main()
for(int i = 1, x; i <= m; i++)
for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = e[n - i + 1];
cdq_per(1, n);
for(int i = 1; i <= n; i++) e[i] = a[n - i + 1];
cdq_nxt(1, n);
lld ans_sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
int k = 1;
while(k <= m)
return 0;
}
cdq分治 筆記
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