和聲學自學
第乙個寒假開始了，由於寒假延長，因此有了一些機會做一些學習的工作。之前預先演練了一下數學的預習，現在開始從頭學習和聲學。
工具準備
學習基礎和聲學主要用到：
《**和聲·基礎篇》葉小胖 from 豆瓣
參考：[奧]勳伯格《和聲學》、《和聲的結構功能》上海**出版社
（勳伯格認為沒有天賦的人應該盡早完全放棄**學習，不過我只是學著玩，所以看到這些部落格的朋友也玩著看就好......）
主要工具：
musescore
studio one 5
（都可以找到免費正版）
（廉價的）鍵盤樂器
0、準備：音程迴圈
一、半音階迴圈
在真正從頭開始學習和聲學之前，我們不妨從頭開始學習一下基礎的音程。
物理學發展之後，人們發現聲音是由振動發出的，振動的頻率決定了聲音的音高，而八度音程實際上是發聲頻率翻倍造成的。在此基礎之上，根據通用的十二平均律，乙個八度音程被分為12等分。請注意由於人耳對聲音頻率的分辨是對數形式的，所以實際上十二等分是對$[0,\ln 2]$十二等分，也就是每個音的頻率是其上乙個音的$^ \sqrt$倍。
物理上的解釋令人困惑。人們常用的記法是字母：
c — c#/db — d — d#/eb — e — f — f#/gb — g — g#/ab — a — a#/bb — b — c
請注意：
1、兩個音之間相隔的距離稱為音程。其中音高較低的音稱為根音，較高的稱為冠音。
2、每兩個字母之間頻率翻$^ \sqrt$倍，這樣的音程稱為半音。#代表公升號，即公升高乙個半音；b則是降號。從c開始以半音上公升，最終又回到了c，可以發現這是乙個迴圈，這樣就稱為半音階迴圈。既然生成了迴圈，大家不妨把這些字母按順序畫在乙個圓周上，頗似一張鐘錶。
3、有些音是等價的，譬如c#=db，但是雖然音高相同，在某些時候它們的意義並不一定相同。
4、由於很多**上的習慣都是**於鋼琴，而鋼琴上cdefgab這七個音處於白鍵，貌似比黑鍵更重要，因此有了上面的記法、只有七個基本字母、「半音」這種稱呼、甚至從c開始的習慣。但是12個音之間是沒有重要性的大小關係的，以哪個音開始都能構成迴圈。同時，這也造成了這種記法有一些複雜的地方（比如各種公升降號），大家如果不習慣，可以自己選擇或創造一些喜歡的記法，但是本人的部落格還是盡量採用這種國際通用的記法。
5、形成了迴圈就表示音高之間不是絕對的，譬如c不一定低於d。本文下面的內容，音程x — y中，x總是不高於y的。
二、音程表
了解了音程，我們來了解度數。這依然是乙個習慣的記法。
度數的意義實際上是音程之間跨越的基本字母數。譬如一度：c — c。或者二度：c — db 、c — d 、 c — d#。請注意公升降號不影響度數。當然大家可能會發現c — d# 和 c — eb 是一樣的音程，但是它們的度數仍然是不同的。大家還可能發現同乙個度數會有幾種不同的音程。區分這些主要靠以下名字：大/m（major）、小/m（minor）、純/p（perfect）、增/a（augmented）、減/d（diminished）。譬如c — d#就是增二度，c — eb是小三度。
度數之間的關係比較複雜，這裡具體的**就不展示了，我主要想介紹我認為初學時利於記憶的方法：
1、首先還是借助鍵盤比較容易。首先應該牢記存在純音程的四個度：一度、四度、五度、八度。其他音程沒有純音程的說法，轉而有大、小音程的說法。
借助鍵盤，我們可以簡單地記憶幾個比較明白的度數：
純一度c — c、大二度c — d、大三度c — e、純四度c — f、純五度c — g、大六度c — a、大七度c — b、純八度c — c
可以看到都是鋼琴上（以c開始）的白鍵之間的音程，而且都是純音程或者大音程，比較好記。
以此為基礎推導，向上向下加減半音： 純 加（減）乙個半音成為 增（減）； 大 減去乙個半音成為 小 ；大 加乙個半音、小 減去乙個半音，各自成為 增、減。注意不存在減一度。
2、實際上大小增減都是名字，我們在明白了怎麼稱呼它們之後，可以明白它們之間距離的本質，就是物理上的頻率，**上就用半音表示。沒有鍵盤的朋友可以嘗試直接這樣記憶。這裡只說明以下半音距離：
純一度(0)、大二度(2)、大三度(4)、純四度(5)、純五度(7)、大六度(9)、大七度(11)、純八度(12)
然後通過上面說過的推導來記憶其它音程。
這裡還有乙個好處就是可以應用上我們小學一年級就學過的20以內加減法。譬如由於：
$3+4=7$
我們就有：
小三度 + 大三度 = 純五度
m3 + m3 = p5
3、明白了這些之後，我們就可以在鍵盤上或者迴圈圖上進行練習，直到熟悉。
三、更多迴圈
除了半音迴圈，我們還有以下幾種迴圈：
1、全音程迴圈。兩個半音的音程就叫全音。由於：2是12的因數，所以全音程可以構成較短的迴圈，有以下兩種：
c — d — e — f#/gb — g#/ab — a#/bb — c
c#/db — d#/eb — f — g — a — b — c#/db
由於$\frac = 6$，所以全音迴圈只有兩種、每種經過六個音。如果畫在之前提到過的表盤上，會發現這是兩個六邊形。
2、小三度迴圈。三個半音就叫小三度（或者增二度）。由於：3是12的因數，所以小三度也可以構成較短的迴圈。容易發現只有三種：
c — d#/eb — f#/gb — a — c
c#/db — e — g — a#/bb — c#/db
d — f — g#/ab — b — d
到小三度大家會發現由於音數的減少，聲音聽上去有了一些關係。實際上三個小三度構成了稱為減七和弦的和弦。至於為什麼叫減七和弦之後再說。不過大家應該知道，雖然小三度迴圈只有三種，但是減七和弦並不只有三種。放在表盤上，小三度迴圈就是正方形。
3、大三度迴圈。四個半音就叫大三度。同樣，大三度迴圈只有四種：
c — e — g#/ab — c
c#/db — f — a — c#/db
d — f#/gb — a#/bb — d
d#/eb — g — b — d#/eb
大三度是大家更熟悉的音程。大三度的疊加也可以構成稱為增三和弦的和弦。同樣，雖然迴圈只有四種，但是增三和弦不只有四種。放在表盤上，大三度迴圈就成了正三角形。
4、純四度、純五度迴圈。五個半音就叫純四度、七個半音就叫純五度。實際上由於5、7和12的互質關係，純四度、純五度迴圈會遍歷十二個音，如同半音階迴圈一樣。下面給出純四度和純五度迴圈：
c — f — a#/bb — d#/eb — g#/ab — c#/db — f#/gb — b — e — a — d — g — c
c — g — d — a — e — b — f#/gb — c#/db — g#/ab — d#/eb — a#/bb — f — c
大家可以發現，純四度迴圈和純五度迴圈是對稱的關係，例如將純四度迴圈反過來就變成了純五度迴圈。這是由於純四度和純五度之間的轉位關係。通俗點說就是$5+7=12$。由於純四度和純五度迴圈遍歷12個音，實際上它們和半音階迴圈是同構的。純五度迴圈在半音階表盤上構成乙個十二芒星，如果我們按照純五度迴圈的順序把音排成另乙個表盤，則半音階迴圈也構成乙個十二芒星。這裡如果想解釋得高深一點，《**和聲》推薦各位搜尋十二階迴圈群（反正我沒有搜尋......）。
5、增四度/減五度迴圈。實際上這個音程由六個半音得到，也就是說12個音中兩兩互為迴圈，譬如c — f#/gb，這裡就不全部列出了。
6、超過七個半音的音程構成的迴圈。由於上面提到過的轉位關係，超過7個半音的迴圈將會和它們的轉位音程迴圈形成同構關係。譬如小六度（8）迴圈和大三度（4）迴圈同構。下面就不詳細介紹了。
以上就是和聲學需要的最基礎的樂理。雖然我們提到了振動學、群論的有關知識，但是它們並不必需，最必須的就是記憶力和熟練度，以及20以內加法，完全不複雜。如果有朋友認為cdefgab太複雜了，完全可以通過合適自己的方式記憶。當然度數還是建議熟悉，因為這是目前的習慣記法。
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