先用人話來描述一下這個問題：有兩個收益不固定的投資專案，如何將一筆固定的金額分開投資，才能使總投資風險最小？
再用數學語言來描述一下這個問題，對於兩個收益分別為x和y的金融資產，x、y為隨機變數，把比例為α的金額投到x上，把剩下比例為1-α的金額投到y中，使var(αx+(1-α)y)最小。根據方差的性質、協方差的定義以及極值的導數意義進行轉化並求導，可以很easy地得到：
其中如果知道總體x、y的分布，那麼可以直接求出α，但事實上往往不知道，只有樣本。這個時候就需要根據樣本來估計α，但α的估計值真的靠譜麼？顯然只給出乙個數字是不行的。如果α的估計值自身都很不穩定，那就這種計算方法也就不靠譜了。
這裡介紹一種重抽樣方法：自助法（bootstrap）。這裡直接引用csdn上老子今晚不加班的《bootstrap 自助法》中的定義：
bootstrap有兩種形式：非引數bootstrap和引數化的bootstrap，但基本思想都是模擬。引數化的bootstrap假設總體的分布已知或總體的分布形式已知，可以由樣本估計出分布引數，再從引數化的分布中進行再取樣，類似於mc。非引數化的bootstrap是從樣本中再抽樣，而不是從分布函式中進行再抽樣。
總而言之，bootstrap是一種可放回式抽樣法，當進行大量這種抽樣時，可以對估計量的統計量（方差、標準差、標準誤差、置信區間等）有乙個較為穩定、準確的估計。
這裡以r的islr包中的portfolio資料集為例，以之為樣本，進行自助法重抽樣，觀察根據樣本重抽樣計算的α的估計量。
老規矩，先看一下資料集：
可見資料框100行，兩列x、y都是數值型。> library(islr)> str(portfolio)
'data.frame': 100 obs. of 2 variables:
$ x: num -0.895 -1.562 -0.417
1.044 -0.316
... $ y: num -0.235 -0.885
0.272 -0.734
0.842
...
先計算一下根據樣本中所有的觀測資料求得的α。
再來求α的估計值。> # 求α的函式> alpha=function(x,y)
> alpha(portfolio$x,portfolio$y)
[1] 0.5758321
下面進行重抽樣。> # 求α估計值的函式> alpha.fn=function(data, index)
> # 檢查一下是否與上面結果一致
> alpha.fn(portfolio,1:100)
[1] 0.5758321
> # 結果一致
可見，當抽樣容量更大時，α的估計值與實際值更接近。> # 設定隨機數種子> set.seed(1)
> # 可放回抽100個樣本
> alpha.fn (portfolio,sample(1:100,100,replace=true))
[1] 0.5963833
> # 可放回抽1000個樣本
> alpha.fn (portfolio,sample(1:100,100,replace=true))
[1] 0.5796283
不過當然不必自定義函式，自己去抽樣計算，r肯定有自帶的bootstrap方法的函式。
> boot.out=boot(portfolio,alpha.fn,r=1000)> boot.out
ordinary nonparametric bootstrap
call:
boot(data = portfolio, statistic = alpha.fn, r = 1000)
bootstrap statistics :
original bias std. error
t1* 0.5758321
4.879587e-06
0.08872272
boot()函式輸入資料集，欲計算的估計量，以及抽樣次數就可以進行bootstrap抽樣。從結果上來看，對於原始資料，樣本α估計值為0.5758（由於隨機性，與上面的結果略有差異），標準誤為0.0887。
還可以對估計量進行視覺化，觀察α估計量的分布。
可見α估計量正態性良好。
bootci()函式可用來求估計量的置信區間。
結果中的4種置信區間是根據不同的方法計算出來的，差別不大，按需取之即可。> boot.ci(boot.out)bootstrap confidence interval calculations
based on 1000 bootstrap replicates
call :
boot.ci(boot.out = boot.out)
intervals :
level normal basic
95% ( 0.4019, 0.7497 ) ( 0.3909, 0.7440 )
level percentile bca
95% ( 0.4076, 0.7607 ) ( 0.4107, 0.7617 )
calculations and intervals on original scale
warning message:
in boot.ci(boot.out) : bootstrap variances needed for studentized intervals
這下不僅能給出α的估計值，還能給出標準誤和置信區間，有理有據，令人信服。
gareth james et al. an introduction to statistical learning.
老子今晚不加班，《bootstrap 自助法》，csdn.
java中的分布式應用（一）之分布式介紹
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