貪心演算法之區間排程問題

452.用最少數量的箭引爆氣球

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什麼是貪心演算法呢？貪心演算法可以認為是動態規劃演算法的乙個特例，相比動態規劃，使用貪心演算法需要滿足更多的條件（貪心選擇性質），但是效率比動態規劃要高。

比如說乙個演算法問題使用暴力解法需要指數級時間，如果能使用動態規劃消除重疊子問題，就可以降到多項式級別的時間，如果滿足貪心選擇性質，那麼可以進一步降低時間複雜度，達到線性級別的。

什麼是貪心選擇性質呢，簡單說就是：每一步都做出乙個區域性最優的選擇，最終的結果就是全域性最優。注意哦，這是一種特殊性質，其實只有一部分問題擁有這個性質。

比如你面前放著 100 張人民幣，你只能拿十張，怎麼才能拿最多的面額？顯然每次選擇剩下鈔票中面值最大的一張，最後你的選擇一定是最優的。

然而，大部分問題明顯不具有貪心選擇性質。比如打鬥地主，對手出對兒三，按照貪心策略，你應該出盡可能小的牌剛好壓制住對方，但現實情況我們甚至可能會出王炸。這種情況就不能用貪心演算法，而得使用動態規劃解決，參見前文「動態規劃解決博弈問題」。

言歸正傳，本文解決乙個很經典的貪心演算法問題 interval scheduling（區間排程問題）。給你很多形如[start, end]的閉區間，請你設計乙個演算法，算出這些區間中最多有幾個互不相交的區間。

int intervalschedule(int intvs) {}

舉個例子，intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]]，這些區間最多有 2 個區間互不相交，即[[1,3], [3,6]]，你的演算法應該返回 2。注意邊界相同並不算相交。

這個問題在生活中的應用廣泛，比如你今天有好幾個活動，每個活動都可以用區間[start, end]表示開始和結束的時間，請問你今天最多能參加幾個活動呢？顯然你乙個人不能同時參加兩個活動，所以說這個問題就是求這些時間區間的最大不相交子集。

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這個問題有許多看起來不錯的貪心思路，卻都不能得到正確答案。比如說：

也許我們可以每次選擇可選區間中開始最早的那個？但是可能存在某些區間開始很早，但是很長，使得我們錯誤地錯過了一些短的區間。或者我們每次選擇可選區間中最短的那個？或者選擇出現衝突最少的那個區間？這些方案都能很容易舉出反例，不是正確的方案。

正確的思路其實很簡單，可以分為以下三步：

從區間集合 intvs 中選擇乙個區間 x，這個 x 是在當前所有區間中結束最早的（end 最小）。

把所有與 x 區間相交的區間從區間集合 intvs 中刪除。

重複步驟 1 和 2，直到 intvs 為空為止。之前選出的那些 x 就是最大不相交子集。

把這個思路實現成演算法的話，可以按每個區間的end數值公升序排序，因為這樣處理之後實現步驟 1 和步驟 2 都方便很多:

現在來實現演算法，對於步驟 1，由於我們預先按照end排了序，所以選擇 x 是很容易的。關鍵在於，如何去除與 x 相交的區間，選擇下一輪迴圈的 x 呢？

由於我們事先排了序，不難發現所有與 x 相交的區間必然會與 x 的end相交；如果乙個區間不想與 x 的end相交，它的start必須要大於（或等於）x 的end：

看下**：

public int intervalschedule(int intvs) 
});// 至少有乙個區間不相交
int count = 1;
// 排序後，第乙個區間就是 x
int x_end = intvs[0][1];
for (int interval : intvs) 
}return count;
}

下面舉例幾道 leetcode 題目應用一下區間排程演算法。

第 435 題，無重疊區間：

我們已經會求最多有幾個區間不會重疊了，那麼剩下的不就是至少需要去除的區間嗎？

int eraseoverlapintervals(int intervals)

第 452 題，用最少的箭頭射爆氣球：

其實稍微思考一下，這個問題和區間排程演算法一模一樣！如果最多有n個不重疊的區間，那麼就至少需要n個箭頭穿透所有區間：

只是有一點不一樣，在intervalschedule演算法中，如果兩個區間的邊界觸碰，不算重疊；而按照這道題目的描述，箭頭如果碰到氣球的邊界氣球也會**，所以說相當於區間的邊界觸碰也算重疊：

所以只要將之前的演算法稍作修改，就是這道題目的答案：

int findminarrowshots(int intvs) 
}return count;
}

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