模板：luogo p3379 【模板】最近公共祖先（lca）
今天講的時候有點跑神，現在卑微地來補習（菜）
lca指的是最近公共祖先(least common ancestors)。
最簡單的演算法無疑是從兩個點乙個個往上走，出現的第乙個兩個點都走過的點即為兩點的lca。
但是時間很長。
所以起用倍增，倍增的作用就是將兩點上公升所需的複雜度減低。
大致流程為：將deep不同的兩個點跳到同一層，再跳到deep[lca-1]的那層，再向上跳一層就是lca了。
加速跳的方法就是每次向上跳的層數為2的i次方層，就是把層數轉化成2進製的數，這樣時間複雜度就變為log2（n）了。
之後要兩個陣列f[i][j](從i向上2^j層後到達的點)和deep[i](這棵樹中i點的深度)。
deep[i]用乙個dfs求得。
f[i][j]用了遞推，f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。初始化f[i][0]也可以在遍歷整棵樹的時候求得。
然後，兩點再同時向上逼近。i從最高位開始列舉，假設兩點分別為x,y，那麼能向上跳的判斷式為：
if （f[x][i]!=f[y][i]）
就是如果兩點向上跳了2^i層以後不到同乙個點就接著往上跳。為什麼這樣？因為如果往上跳了2^i層，即使到了同乙個點，它不一定是兩點的lca。
這樣做，最終就會到達lca的下面一層。隨後，我們再將兩點向上跳一層。lca求得。
然後這個讓我無比摸不著頭腦的問題出現了：
我們假設從a,b點開始，往上跳2^j層，跳到同一點。不跳。往上跳2^(j-1)層，不跳到同一點，往上跳，分別到了a'，b'。顯然，這種情況是一定會存在的。那麼，從a'，b』再往上跳到原來那個決定不跳的點，顯然要跳2^(j-1)層。那麼，那個點有可能是lca，也有可能不是，對吧？所以，從a'，b'往上跳到lca所需的層數，是≤2^(j-1)的。換句話來說，a'，b'到x的層數變成了乙個j-2位的二進位制數（可能會有前導零，也就是還可能會跳到點數相同的地方）。而此時，剛好列舉到j-2位。那麼，前導零不減，再這麼減下去，你發現，這個層數差最終會變成0，而你最終也會到達第x層。大概就是你的叔伯（爸爸的兄弟）不是你的祖先，這裡找的祖先必須是直系的。
首先我們證明，前導零不會被減去。假設與x層的層數差為x'，而你正準備往上跳y層。由於lca的層數是x+1，而lca往上的點它都不會跳，對吧？（反而，如果lca往下的點，也就是層數<=x，也就是y=x'+1，那麼就絕對不會往上跳。顯然，當x'的該位為0，且屬於前導零，那麼只需證明x'+1<=y。而這個非常易證（假設y為10000，而x'滿足條件的最大值為01111）。所以保證，前導零是不會減去的。
接著我們證明，一旦列舉到了x'的第乙個為1的位數，這個1絕對會被減去。按照同樣的方法，假設y為10000，而x'滿足條件的最小值為10000，所以y
兩點合在一起，前導零不會減去，列舉到乙個1位就減去，最終這個層數差就會變成0.證畢。
#include#include#include
#include
#include
#define maxn 500010#include
using
namespace
std;
int f[maxn][21
],head[maxn],deep[maxn],cnt,n,m,rt;
struct
edge
e[maxn
<<1
];void add(int u,int
v)void dfs(int x,int
fa)}
void
init()}}
}int query(int x,int
y) }
return f[x][0];}
intmain()
dfs(rt,0);
init();
while(m--)
return0;
}
2019-07-3122:54:32
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