CQOI2009 葉子的染色 性質 樹形Dp

online judge：bzoj1304，luogu p3155

label：無根樹，樹形dp

1.每個葉子節點到樹根的路徑上都至少存在1個有色節點； 2.對於編號為\(i\)的葉子節點，給定乙個\(c[i]\)，表示從葉子節點到樹根路徑上第乙個遇到的有色節點的顏色(0:黑，1:白)。

\(n<=5021\)

第一行包含兩個正整數\(n,k\)。

結點編號為\(1，2，…，n\)，其中編號\(1，2，… ，k\)是葉子。

以下\(k\)行每行乙個0或1的整數（0表示黑色，1表示白色），依次為c[1]，c[2]，…，c[n]。

以下\(m-1\)行每行兩個整數a，b（1<=a < b <= m），表示結點a和b 有邊相連。

僅乙個數，即著色結點數的最小值。

input

5 301

01 4
2 54 5
3 5

2

如果是棵有根樹怎麼做。

[1]狀態定義

定義狀態\(f[x][0/1]\)表示節點\(x\)染為黑/白，以其為根的子樹所需的最小染色數。

為什麼第二維不再弄個\(2\)表示不染色時的狀態呢（當然這樣也可以做,但沒必要），在之後的轉移中我們有乙個"刪除兒子顏色"的操作，也就是說先染上色，到時候再根據最優性考慮刪除顏色。

[2]初始化、終態

一開始所有節點，不論選黑選白都至少選了乙個有色節點，賦值為1；但對於葉子節點，將他所不能第乙個遇到的那個顏色賦值為inf，後面轉移時就不會用到這個狀態了。

初始化 : \(f[x][0/1]=1\)，\(f[leaf][!c[leaf]]=inf\)

[3]轉移

一遍dfs搞一下整棵樹，對於非葉子節點x，其兒子為son。

如果x,son同色，則讓x保留顏色，son刪除顏色更優(x包含的範圍更廣)。如果不同色則都保留。兩者取較小值傳給x。

\(f[x][0]+=min(f[son][0]-1,f[son][1]);\)

\(f[x][1]+=min(f[son][1]-1,f[son][0]);\)

證明：類似換根的想法，設一開始的樹根為\(x\)，現在要將他的某個兒子\(son\)設為根。

根據上面分析，在\(x\)做根的最優方案中，

1.x與son不會染相同的顏色；

2.x一定會染色。

a.當son染為白時，換根後兩者分別可能會影響的範圍根本沒有變化，所以顏色都不用改變，答案當然不會變。

b.當son不染色時，原來x可能會影響的範圍是整棵樹，換根後，只需將x的顏色轉給son，x本身不染色即可保證樹根可能影響的範圍不變，這樣只有這兩點的顏色交換了，染色總數依然不變。

所以隨便挑乙個非葉子節點做根就好了。

**如下：

#includeusing namespace std;

const int n=10010;
vectore[n];
int f[n][2],n,k;
void dfs(int x,int fa)	
}int main()
for(int i=1,u,v;idfs(n,0);
printf("%d\n",min(f[n][0],f[n][1]));
}

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