1 定義
尤拉通路 (euler tour)——通過圖中每條邊一次且僅一次，並且過每一頂點的通路。
尤拉迴路 (euler
circuit)——通過圖中每條邊一次且僅一次，並且過每一頂點的迴路。
尤拉圖——存在尤拉迴路的圖。
2 無向圖是否具有尤拉通路或迴路的判定
g有尤拉通路的充分必要條件為：g
連通，g中只有兩個奇度頂點(它們分別是尤拉通路的兩個端點)。
g有尤拉迴路(g為尤拉圖)：g連通，g中均為偶度頂點。
3 有向圖是否具有尤拉通路或迴路的判定
d有尤拉通路：d連通，除兩個頂點外，其餘頂點的入度均等於出度，這兩個特殊的頂點中，乙個頂點的入度比出度大1，另乙個頂點的入度比出度小1。
d有尤拉迴路(d為尤拉圖)：d連通，d中所有頂點的入度等於出度。
4 混合圖。混合圖也就是無向圖與有向圖的混合，即圖中的邊既有有向邊也有無向邊。
5 混合圖尤拉迴路
混合圖尤拉迴路用的是網路流。
把該圖的無向邊隨便定向，計算每個點的入度和出度。如果有某個點出入度之差為奇數，那麼肯定不存在尤拉迴路。因為尤拉迴路要求每點入度
= 出度，也就是總度數為偶數，存在奇數度點必不能有尤拉迴路。
現在每個點入度和出度之差均為偶數。將這個偶數除以2，得x。即是說，對於每乙個點，只要將x條邊反向（入》出就是變入，出》入就是變出），就能保證出
= 入。如果每個點都是出 = 入，那麼很明顯，該圖就存在尤拉迴路。
現在的問題就變成了：該改變哪些邊，可以讓每個點出 =
入？構造網路流模型。有向邊不能改變方向，直接刪掉。開始已定向的無向邊，定的是什麼向，就把網路構建成什麼樣，邊長容量上限1。另新建s和t。對於入 >
出的點u，連線邊(u, t)、容量為x，對於出 > 入的點v，連線邊(s,
v)，容量為x（注意對不同的點x不同。當初由於不小心，在這裡錯了好幾次）。之後，察看是否有滿流的分配。有就是能有尤拉迴路，沒有就是沒有。檢視流值分配，將所有流量非
0（上限是1，流值不是0就是1）的邊反向，就能得到每點入度 = 出度的尤拉圖。
由於是滿流，所以每個入 >
出的點，都有x條邊進來，將這些進來的邊反向，ok，入 = 出了。對於出 > 入的點亦然。那麼，沒和s、t連線的點怎麼辦？和s連線的條件是出 >
入，和t連線的條件是入 > 出，那麼這個既沒和s也沒和t連線的點，自然早在開始就已經滿足入 =
出了。那麼在網路流過程中，這些點屬於「中間點」。我們知道中間點流量不允許有累積的，這樣，進去多少就出來多少，反向之後，自然仍保持平衡。
以上內容**：
其實還可以再深入一步：求出尤拉迴路的路徑
只要將殘餘網路中的滿流邊（不包括以s，t為端點的邊）與一開始設定的方向反向即可，最後求一遍有向圖的尤拉迴路（dfs）即可~
ps：求混合圖的尤拉路徑也應該可以用網路流做吧。。按照定義做應該是可以的~不過好像沒有這個題，我是沒找到~
view code
#include #include#include
#include
#include
#include
#define n 500
#define m 20000
#define inf 1e9
using
namespace
std;
inthead[n],to[m],next[m],len[m];
int q[m*10
],layer[n];
intpin[n],pout[n];
intn,m,s,t,cas,cnt,sum;
inline
void add(int u,int v,int
w)inline
bool
read()
for(int i=1;i<=n;i++)
return
true;}
inline
bool
bfs()
}return layer[t]!=-1;}
inline
int find(int u,int
cur_flow)
if(!res) layer[u]=-1
;
return
res;
}inline
void
go()
intmain()
return0;
}
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