考慮樹形 dp，設 dpi
dp_i
dpi
為 ii
i 節點到 sz 市的最小費用，dis
idis_i
disi
為 sz 市到 i
ii 節點的距離。
顯然初始化 dp1
=0
dp_1=0
dp1=0
，然後 dis
idis_i
disi
可以提前預處理出來。
然後有 dpu
=min(
dpv+
(dis
u−di
sv)×
pu+q
u)
dp_u=\min(dp_v+(dis_u-dis_v)\times p_u+q_u)
dpu
=min(d
pv+
(dis
u−d
isv
)×pu
+qu
)。（v
vv 為 u
uu 的祖先，dis
u−di
sv≤l
udis_u-dis_v\leq l_u
disu−
disv
≤lu
）。拆開來：dpu
=dis
u×pu
+qu+
min(−
disv
×pu+
dpv)
dp_u=dis_u\times p_u+q_u+\min(-dis_v\times p_u+dp_v)
dpu=d
isu
×pu
+qu
+min(−
disv
×pu
+dp
v)。
發現拆出來跟 v
vv 有關係的只有 −di
sv×p
u+dp
v-dis_v\times p_u+dp_v
−disv
×pu
+dpv
。然後看到這個東西就聯想到斜率優化。
那麼思路就顯而易見了：先對原樹進行樹剖，然後對於每個點 i
ii 維護一條直線 fi(
x)=−
disi
×x+d
pi
f_i(x)=-dis_i\times x+dp_i
fi(x)
=−di
si×
x+dp
i。至於如何維護這些直線，我們可以在每個線段樹節點開乙個vector，那麼可以證明線段樹總的空間複雜度是 o(n
logn)
o(n\log n)
o(nlogn)
，因為每一層只有 n
nn 條直線，一共有 logn
\log n
logn
層。然後要不斷插入一些直線，再用類似半平面交的方法維護下凸殼。
至於 l
ll 的限制，我們可以先用倍增求出來每乙個點最遠能跳到哪個點。
**如下：（有詳細注釋）
#include
#define ln 18
#define n 200010
#define ll long long
#define inf 0x7fffffffffffffff
using
namespace std;
struct point
;point
(double xx,
double yy)};
struct line
;line
(ll kk,ll bb)
ll get
(ll x)};
point intersection
(line a,line b)
//兩直線求交點
bool
onright
(point a,line l)
//判斷乙個點是否在這條直線的上方
int n,subtask;
int cnt,head[n]
,nxt[n]
,to[n]
;int tot,size[n]
,d[n]
,son[n]
,id[n]
,rk[n]
,top[n]
,farest[n]
;int fa[n]
[ln]
;ll p[n]
,q[n]
,limit[n]
,dis[n]
,w[n]
,dp[n]
,sum[n]
[ln]
;//有很多地方要開long long，注意
vectorline[n<<2]
;void
adde
(int u,
int v,ll wi)
void
dfs(
int u)
int now=u;
for(
int i=
17;i>=
0;i--
)//倍增預處理最遠能跳到哪個點
} farest[u]
=now;
for(
int i=head[u]
;i;i=nxt[i])}
void
dfs1
(int u,
int tp)
void
half
(int k,line tmp)
//插入新直線
line[k]
.push_back
(tmp);}
void
insert
(int k,
int l,
int r,
int qx,line tmp)
ll query
(int k,
int l,
int r,
int ql,
int qr,ll x)
if(xelse l=mid+1;
}return line[k]
[ans]
.get
(x);
//將x代入得到y值
}int mid=
(l+r)
>>1;
ll ans=inf;
if(ql<=mid) ans=
min(ans,
query
(k<<
1,l,mid,ql,qr,x));
if(qr>mid) ans=
min(ans,
query
(k<<1|
1,mid+
1,r,ql,qr,x));
return ans;
}void
solve
(int u)
ans=
min(ans,
query(1
,1,n,id[b]
,id[a]
,p[v]))
; dp[v]
=ans+dis[v]
*p[v]
+q[v]
;solve
(v);}}
intmain()
dfs(1)
;dfs1(1
,1);
solve(1
);for(
int i=
2;i<=n;i++
)printf
("%lld\n"
,dp[i]);
return0;
}
NOI2014 購票（樹形dp 樹剖 斜率優化）
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