\[\left\
x ≡ c_1(mod &m_1) \\
x ≡ c_2(mod&m_2) \\
. \\
. \\
. \\
x ≡ c_r(mod &m_r)
\end
\right. \]
\[x≡c_1(\mod m_1)$$ $$x≡c_2(\mod m_2)
\]將兩個式子變形
\[x=c_1+m_1k_1$$ $$x=c_2+m_2k_2
\]聯立
\[c_1+m_1k_1=c_2+m_2k_2
\]移項
\[m_1k_1=c_2−c_1+m_2k_2
\]我們用(a,b)表示a,b的最大公約數
在這裡需要注意，這個方程有解的條件是\((m_1,m_2)|(c_2−c_1)\)，因為後面會用到\(\frac \)這一項，如果不整除的話肯定會出現小數。
對於上面的方程，兩邊同除\((m_1,m_2)\)
\[\frac =\frac +\frac $$ $$\frac k_1=\frac +\frac k_2
\]轉換一下
\[\frac k_1≡\frac (mod \frac )
\]此時我們已經成功把\(k_2\)消去了。
同余式兩邊同除\(\frac \)
\[k_1≡inv(\frac ,\frac )∗\frac (mod \frac )
\]inv(a,b)表示a在模b意義下的逆元
\[k_1=inv(\frac ,\frac )∗\frac +\frac ∗y
\]接下來怎麼辦呢？這個式子已經化到最簡了。。。
不要忘了，我們剛開始還有兩個式子。我們把\(k_1\)代回去！
\[x=inv(\frac ,\frac )∗\frac ∗m_1+y\frac +c_1$$ $$x≡inv(\frac ,\frac )∗\frac ∗m_1+c_1(mod\frac )
\]此時，整個式子中的元素我們都已經知道了
具體一點，這個式子可以看做是
\[x≡c (\mod m)
\]其中
\[c=(inv(\frac ,\frac )∗\frac )\%\frac ∗m_1+c_1$$ $$m=\frac
\]
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