培訓補坑（day3 網路流最小割）

繼續補坑..

第三天主要是網路流

首先我們先了解一下網路流的最基本的演算法:dinic

這個演算法的主要做法就是這樣的：

在建好的網路流的圖上從源點開始向匯點跑一遍bfs，然後如果一條邊的流量不為0，那麼就往下標號，

每乙個點的level都是上乙個點的level+1

然後在跑一遍dfs，如果發現邊的兩個點的level差值為1（終點比起點的level大），那麼就走這條邊。

那麼我們首先要了解一下如何建邊

網路流的最基本概念就是：可以反悔

就是說假如說我們有更好的方案，那麼我們可以把原來流掉的流量再流回來。

如何做到呢？就是對於每一條邊連一條方向相反，流量為0的邊。

下面舉圖說明：

這是我們網路流的圖，那麼假設我們一開始走的是中間那條邊，那麼就是這樣，我們得到的最大流是3

然後接下來就是我們增廣的過程啦，因為我們走過的邊的反向邊都加上了流量，我們首先先得到乙個殘量網路

然後我們在又一遍bfs後我們找到這樣一條路：

所以我們最大流+3，是不是很神奇，所以答案就是6啦；

這個過程其實就是把剛才的流量反悔，把下面的這個3的流量讓給下面的一條路，自己走上面的一條路。就是。上圖：

所以這樣就是網路流的基本演算法啦。

下面貼下**

bool
bfs()
}return level[t]!=-1;}
int dfs(int u,int v,int
flow)}}
return
used;
}int dinic(int u,int
v)    
return
tot;
}

————————————————我是分割線————————————————

那麼我們接下來看一看最小割。

最小割的定義就是對於乙個網路流的圖，刪掉一些邊，使得從源點沒有路徑可以到達匯點，而花費（刪掉一條邊的花費就是該邊的流量）的總和的最小值就是最小割。

比如下圖中紅色的邊就是最小割

那麼我們會驚奇的發現最小割就是最大流。。（至於理論我就不證明了）

——————————————我是分割線——————————————

而對於網路流這一塊來說，難的不是演算法本身，而是建圖這一環節：

本帖著重講解的是最小割的建圖：

對於求最小割，我們一般都是要求總收益最大的一類題目，題目一般會告訴你有很多種收益，那麼我們如何根據題目建圖呢？

首先我們要在腦海中有乙個概念，就是說我們假如說刪掉一條邊，意味著我們損失了一項收益，假如說我們的題目告訴我們乙個專案有兩種選項a,b，那麼我們假設乙個點割到s（表示這個點所對應的專案與t相連的邊被割斷，之所以這麼說是因為我們有可能把乙個專案拆成多個點來建圖）代表的是他選擇a收益，那麼就說明放棄了b收益，所以b收益就是損失的一部分。

所以對於上述型別的題目，我們從s到專案連一條流量為ai的邊，從專案向匯點連一條流量為bi的邊，然後跑最大流。然後我們把所有的收益加起來-最大流（總損失）就是我們的最大收益啦！

那麼還有一種題目是如果我們同時選擇幾種專案才能獲得一項收益，對於這種圖我們怎麼辦呢？

對於這種圖，我們需要建乙個輔助節點，假設我們知道多個節點都割到s才能獲得這項收益，那麼我們就從這些節點向輔助節點連一條流量為inf的邊（表示這些邊不能被割斷），然後我們再從輔助節點向t連一條流量為收益大小的邊，具體上圖：

圖中的兩個點如果只要有乙個點割到t，那麼輔助節點到t的邊就必須被割斷（損失該項收益）

而這種輔助節點建在哪一邊取決於滿足條件是多個點割到s還是割到t，如果是割到s，那麼輔助節點在t一側，否則在s一側。本型別最經典的題目就是文理分科（bzoj_3894)

下面貼上該題**

#include#include
#define min(a,b) ((a)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mn 30005
#define m 300005#ifndef debug 
#define getchar() (ss==tt&&(tt=(ss=bb)+fread(bb,1,1<<15,stdin),tt==ss)?eof:*ss++) 
char bb[1
<<15],*ss=bb,*tt=bb; 
#endif
using
namespace
std;
inline 
intread() 
int n,m,sum,s,t,num=1
;int
head[mn],level[mn],que[mn];
struct
edgeg[m];
bool
bfs()
return level[t]!=-1;}
int dfs(int u,int
flow)
}return
used;
}int
dinic()
void ins(int u,int v,int w)
void insw(int u,int v,int w)
void add(int x,int
u)    
else
}int
main()

注：本題getchar快讀在c++中無法執行，如要除錯請刪除ifndef~endif這一段，出事本人概不負責qaq

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