WC前的頹廢帶花樹

qaq現在很不想寫題解部落格那就來寫個演算法吧qaq...

題目來看個題...

uoj79.

某機房裡有\(n\)個oier，其中有\(n\)個男生，\(0\)個女生。現在他們要兩兩配對。

有\(m\)個關係，每個關係是乙個無序對\((a_i,b_i)\)，表示這兩個人之間願意配對。

求：最多能配成多少對，並找出一組方案。

說人話：一般圖最大匹配。

演算法既然是匹配，我們能不能直接模仿匈牙利演算法呢？答案是不可以（廢話，可以的話還要什麼帶花樹啊）。

原因是：我們在二分圖中，如果dfs找增廣路時經過某個點找不到，那麼我們可以證明這一輪中這個點的確是無用的（也即，這一輪裡所有的增廣路都不經過這個點），於是我們就能保證每個點至多走一遍，時間複雜度得到保證。

但是如果是一般圖，這個性質不一般成立。比如下圖：

圖中紅線是已匹配的邊。那麼，如果我從\(1\)開始dfs時先經過\(2\)，那麼接下來就只能到\(4\)（因為只能走匹配邊），然後是\(5,3\)，同時我們會給這四個節點都打乙個「找不到增廣路」的標記。

但是實際上存在\(1\rightarrow3\rightarrow5\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow6\)這條增廣路。仔細觀察我們就能發現：這種現象之所以存在，是由於奇環\(1-3-5-4-2-1\)的存在（如果沒有奇環，就變成了二分圖匹配，這時候匈牙利演算法就是對的）。

那麼，對於奇環，有什麼後果呢？顯然，如果我們dfs出了乙個奇環，那麼無論環上那個點dfs出了增廣路都是可行的。（例如，上圖中，如果從\(5\)處dfs出一條增廣路，使得\(5\)匹配到別的點且\(3\)成為未蓋點，那麼可以走\(1-3\)。同樣，如果\(5\)被孤立，我們可以走\(1-2-4-5\)來把\(5\)匹配上）

於是，我們可以把乙個奇環當做乙個點（這個奇環被稱為「花」，這就是帶花樹名字的來歷），然後繼續找增廣路。

形式化的，如果我們在圖\(g=(v,e)\)中找到了乙個奇環\(v_1-v_2-\dots-v_k-v_1\)（稱為「花」），其中\(v_1\)是環上的深度最小的結點，不難證明，\(v_1\)的配偶不在此話中（因為在找到這個花之前所有邊組成乙個二分圖，那麼由於\(v_1\)向下dfs/bfs出了乙個花，它一定是x結點，只有x結點會向外擴充套件），且\((v_2,v_3),(v_4,v_5)\dots(v_,v_)\)都是匹配邊。那麼我們構建乙個圖

\[\beging'&=(v', e'),\\ v'&=v/\,\\ e'&=\\end

\]其中\(f(v_i)=v_1, f(a)=a(a\neq v_j), i, j=1,2,\dots,k\)

並且原本\(g\)中的所有匹配除掉\((v_2,v_3),(v_4,v_5)\dots(v_,v_)\)構成\(g'\)的乙個匹配。

那麼，\(g\)中存在增廣路\(\leftrightarrow\)

\(g'\)中存在增廣路。

證明：\(\rightarrow\)：對於\(g\)中的任意一條增廣路，若其不經過這朵花，那麼在\(g'\)中也存在這條增廣路；否則，令這條從\(s\)開始的增廣路上的最後乙個在花上的點為\(v_j\)，那麼這條增廣路形如 \(s\leadsto v_j \leadsto t\)，我們在\(g'\)上構造如下增廣路：先從\(s \leadsto v_1 \leadsto t\)，其中第一段路程沿著bfs/dfs樹走，第二段路程沿著原圖中的增廣路走，唯一不同的是\(v_j\)變成了\(v_1\)（這是合法的，因為所有從\(v_j\)出發的邊都被連到了\(v_1\)上，而且我們根據所有\(v\)都是已蓋點可以知道\(v_j\)出發的邊是非匹配邊）。

\(\leftarrow\)：對於\(g'\)中的一條增廣路，若它不經過\(v_1\)，則\(g\)中也存在；否則，設這條增廣路為\(s\leadsto v_1\rightarrow x \leadsto t\)（\(x\)可能等於\(t\)），根據\(e'\)的定義存在\((v_i, x)\in e\)，從而我們構造\(g\)中的增廣路：\(s\leadsto v_1\leadsto v_i \rightarrow x \leadsto t\)，其中第一段和第三段不變（因為增廣路上\(v_1\)至多出現1次，所以這兩段在\(g\)中存在），第二段是在花裡走（或者精確一點，若\(i\)是奇數，走\(v_1\rightarrow v_2 \dots v_i\)，否則走\(v_1\rightarrow v_k \dots v_i\)。證畢。

bfs時，我們可以\(o(n)\)求出lca並\(o(kn)\)縮花，從而單次bfs至多\(o(n^2)\)，總複雜度至多\(o(n^3)\)。

實現上，我們不實際縮點，而是對於每個點維護乙個\(fa\)，表示它所處的最大的花的lca（就是\(v_1\)）。由於花裡可能還有花，這個\(fa\)要用並查集維護。在證明中構造增廣路是通過判斷\(i\)奇偶性，但實際上我們可以直接維護每個點要往哪邊走，也即維護乙個\(link_i\)表示如果\(i\)失配要和誰匹配（例如，\(link_=v_1,link_=v_4\)）。找lca的時候直接暴力\(o(n)\)，但要注意只找每個並查集的根節點（因為非根節點都縮到花裡了）；縮花時要注意如果兩個點已經在一朵花裡就不要再縮了。

#include #include const int n = 550;
const int m = 250050;
int pre[n], nxt[m], to[m], cnt, n;
int vis[n], fa[n], link[n], mate[n];
int que[n], head, tail;
int ss[n], time;
inline void addedge(int x, int y) 
int find(int x) 
int lca(int x, int y) 
std::swap(x, y);
}  return x;
}void flower(int x, int y, int p) 
}bool match(int x) 
return true;
}} else if (vis[u] == 2 && find(u) != find(x)) 
}}  return false;
}int main() 
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (!mate[i] && match(i))
++ans;
printf("%d\n", ans);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
printf("%d ", mate[i]);
return 0;
}

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