假如你有 $1$ 塊錢, 存銀行, 利率為 $100\%$, 那麼一年後本息和為
$$1+1=2.$$
如果你換種存法, 存半年, 把本息和取出來, 再存半年, 那麼一年後本息和為
$$\left(1+\frac\right)^2=\frac=2.25.$$
你會發現, 你存款的期數越多, 一年後的本息和越大. 自然地, 你會想問兩個問題?
(1) 是不是隨著期數增多, 本息和也相應增大?
(2) 是不是只要期數足夠多, 一年後的本息和要多大有多大?
先來回答第二個問題.
(命題1) 對任何正整數 $n$,
$$\left(1+\frac\right)^n<3.$$
證明. 由二項式定理,
\begin
\left(1+\frac\right)^n&=\sum_^nc_n^k\frac\\
&=1+\sum_^n\frac\\
&\leq1+\sum_^n\frac\\
&\leq2+\sum_^n\frac\\
&<3.
\end
這樣就回答了第二個問題, 對任何大的期數, 本息和是不會超過 $3$ 的.
下面來回答第乙個問題.
(命題2) 對任何正整數 $n$,
$$\left(1+\frac\right)^n<\left(1+\frac\right)^.$$
證明. 由二項式定理,
\begin
\left(1+\frac\right)^n&=\sum_^nc_n^k\frac\\
&=1+\sum_^n\frac\left(1-\frac\right)\cdots\left(1-\frac\right).
\end
所以\begin
\left(1+\frac\right)^&=1+\sum_^\frac\left(1-\frac\right)\cdots\left(1-\frac\right)\\
&>1+\sum_^\frac\left(1-\frac\right)\cdots\left(1-\frac\right)\\
&\geq1+\sum_^n\frac\left(1-\frac\right)\cdots\left(1-\frac\right)\\
&=\left(1+\frac\right)^n.
\end
這樣, 由單調有界定理,
$$\left\\right)^n\right\}_$$
的極限存在, 記
$$e=\lim_\left(1+\frac\right)^n.$$
乙個很自然的問題是, $e$ 是否是有理數? 這個暫且按下不表, 留待以後分解.
關於底數為 $e$ 的對數通常記作 $\ln$ 或者 $\log$:
$$\log_ex=\log x=\ln x.$$
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