HDU 5984 求木棒切割期望 數學

題意是給定一長為 l 的木棒，每次任意切去一部分直到剩餘部分的長度不超過 d，求切割次數的期望。

若木棒初始長度不超過 d，則期望是 0.000000；

設切割長度為 x 的木棒切割次數的期望是 f(x).

則 f(x) = f(切割點位置為 0 ~ d) + f(切割點位置為 d ~ x ) + 1；（此處的 +1 是指首次切割產生的次數)

而 f(切割點位置為 0 ~ d ) = 0；(因為已無需再切割)

令下一次切割點的位置為 t，

f(切割點位置為 d ~ x ) = 在d~x上積分 ( 1 / x ) * f( t ) dt ；(在長度為 x 的木棒上選擇到任何一點切割的概率為 1 / x)

f( x ) = f(切割點位置為 0 ~ d) + f(切割點位置為 d ~ x ) + 1 = 0 + 在d~x上積分 ( 1 / x ) * f( t ) dt + 1

兩邊求導：f『( x ) = - ( 1 / x² ) * ∫ f( t ) dt + f( x ) / x；(積分區間均為 d ~ x)

又： f( x ) = ∫ ( 1 / x ) * f( t ) dt + 1

得：  - ( 1 / x² ) * ∫ f( t ) dt = ∫ ( 1 / x ) * f( t ) dt / ( -1 / x ) = ( f(x) - 1 ) / ( -1 / x )

則： f』( x ) = - ( 1 / x² ) * ∫ f( t ) dt + f( x ) / x = ( f(x) - 1 ) / ( -1 / x ) + f( x ) / x = 1 / x

即： f( x ) = ln( x ) + c ( c為常數 )

由 f( d ) = 1，得：c = 1 - ln( d )

得：f( l ) = ln( l ) + 1 - ln( d ) = log( l / d )  + 1.

**如下：

1 #include 2

using
namespace
std;
3int
main()414
return0;
15 }

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