1014下午考試

題目大意：

有乙個\(n*m\)的矩陣，矩陣的每個位置上可以放置乙個數。對於第i行，第i行的差異定義為該行的最大數和最小數的差。乙個矩陣的差異，定義為矩陣中每一行差異的最大值。現在給定k個數v[1..k]，問：從這k個數中選\(n*m\)個數放入矩陣，能夠得到的矩陣的差異最小值是多少。

n * m <= k <= 100000, n, m <= 1000，0<= v[i] <= 10^9

二分。

就是二分的板子題，先對每個數排序，然後二分矩陣差異最小值，貪心的判斷是否可以選出n個長度為m的連續子段。

#include #define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
inline long long read() 
const int n = 1e5 + 5, inf = 1e9;
int k, n, m, ans;
int a[n], vis[n];
int check(int s) 
else 
if(tmp == m) 
}if(tag == 0 && tmp == m) res ++;
}return res >= n;
}int main() 
printf("%d", ans);
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}

題目大意：

給定乙個長度為n的序列v[1..n]，現在要將這個序列分成k段（每段都不能為空），定義每一段的權值為該段上的所有數的或和。定義整個序列的權值為每段權值的和。問：這個序列的最大權值為多少。

k <= n <= 2000，1<= v[i] <= 5 *10^5

線性dp。

考場上想出來60分的做法：

\(f[i][j]\)表示前\(i\)個數分成\(j\)段的最大權值，那麼轉移方程就是：\(f[i][j] = max(f[i][j], f[l][j - 1] + or[l + 1][i])\)。

複雜度\(o(n ^ 3)\)。

考慮優化一下，或和從0變到10^6大概需要20次，如果說沒變，我們只需要取沒變的這一段\(f\)值最大的乙個就好了。因為\(or\)隨著長度變小單調不公升，\(f\)隨著長度變大單調不降，所以這一段最後乙個點就是斷點。所以我們可以與處理出斷點在哪，第三層迴圈直接列舉這些斷點就好了。

複雜度\(o(n^2logn)\)。

#include using namespace std;
inline long long read() 
const int n = 2005;
int n, k;
long long a[n], aor[n][n], f[n][n];
vector v[n];
int main()

題目大意：

有一棵k+1層的滿二叉樹，那麼該樹有2^k 個葉子節點。給定n個機械人(n=2^k)，編號從1—n，編號為i的機械人的權值為v[i]。我們現在要將這n個機械人分別放置在這n個葉子節點上，每個葉子節點放且只能放乙個機械人。葉子節點的權值為該葉子節點上的機械人的權值。非葉子節點的權值定義為該樹中編號最大的機械人的權值。每個非葉子節點除了權值以外，還有乙個魔法值，該點的魔法值為其左右兒子節點的權值的乘積。整棵樹的魔法值定義為非葉子節點的魔法值的和。問：將這n個機械人隨機地放在這n個葉子節點上，樹的魔法值的期望為多少。

假設答案為乙個不可約分數p/q，則輸出在模1e9+7意義下的p* (q^-1)模1e9+7的值。k <= 18。

組合數 + 推式子

我們假設當先要合併的點高度為d，左子樹權值為x，右子樹權值為y，x > y；

那麼貢獻是這個：\(c(y - 1, 2^d - 1) * c(x - 2 ^ d - 1, 2^d - 1) * v[x] * v[y] * (n - 2^)! * 2 * 2^ * 2^d！ * 2^d！\)。

解釋一下：

高度為d的二叉樹節點的子樹中有\(2 ^ d\)個節點，要從比\(y\)小的數裡面選出\(2^d - 1\)個數，順序不同方案也不同，所以是：\(c(y - 1, 2 ^ d - 1) * 2 ^ d！\)。

除去\(y\)的子樹中的節點後，要從比\(x\)小的數裡面選出\(2^d - 1\)個數，順序不同方案也不同，所以是：\(c(x - 2^d - 1, 2 ^ d - 1) * 2 ^ d！\)。

除去\(x, y\)的所有節點後，剩下的數隨便排，所以是：\((n - 2 ^ d - 2^d)! = (n - 2^)!\)。

\(x, y\)的順序可以交換，所以再乘2。

當前高度為d，那麼層數就是\(k - d\)層，二叉樹這一層會有\(2 ^ \)個節點，都可以在這上面合併，所以再乘\(2 ^ \)。

最後再乘上\(x, y\)的權值\(v[x], v[y]\)。

複雜度\(o(kn ^ 2)\)。

可以字尾和優化一下，首先原式子可以寫成：

\(\displaystyle \sum_ \sum_ \sum_ * a(y - 1, 2^d - 1) * a(x - 2^d - 2, 2^d - 1) * (n - 2^)! * 2^\)。

還可以寫成：

\(\displaystyle \sum_ (n - 2^)! * 2^ \sum_ a(y - 1, 2^d - 1) \sum_ a(x - 2^d - 2, 2^d - 1)\)

預處理出後面那兩坨sigema的字尾和就好了，複雜度\(o(kn)\)。

#include #define ls(o) (o << 1)
#define rs(o) (o << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
inline long long read() 
const int n = 3e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
int k, n;
int ans, a[n];
long long fac[n], inv[n], bit[n], sum[n];
void make_pre() 
int c(int x, int y) 
int main() 
printf("%d", 1ll * ans * inv[n] % mod);
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}

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