2023年 阿里巴巴 筆試題集 第23題
乙個骰子，6面，1個面是 1， 2個面是2， 3個面是3， 問平均擲多少次能使1、2、3都至少出現一次.
這題可以翻譯為，乙個骰子，6面，1個面是 1， 2個面是2， 3個面是3，隨機扔骰子，在第x次時3個數都出現，求這個x的期望（也就是扔無數次，x的平均值是多少）
思路：第一二次肯定不可能出現這種情況
第x(x > 2)次三個都出現的情況分三種（x ^ y 表示 x 的 y 次方）
1：第x次出現 1，那麼前面出現的必然是 2 和 3 ，且至少出現一次
出現1的概率為 1 / 6，前面x-1次不出現1的概率為(1 - 1 / 6) ^ (x - 1)，
但是其中包含全是 2 和全是 3 的情況，去掉全 2 的概率 (1 / 2) ^ (x - 1)，全部為3的概率(1 / 3) ^ (x - 1)，
那麼情況 1 的概率為 ((1 - 1 / 6) ^ (x - 1) - (1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 3) ^ (x - 1)) * (1 / 6)
2：第x次出現2，那麼前面出現的必然是 1 和 3 ，且至少出現一次 同樣，概率為 ((1 - 1 / 3) ^ (x - 1) - (1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 6) ^ (x - 1)) * (1 / 3)
3：第x次出現3，那麼前面出現的必然是 1 和 2 ，且至少出現一次 同樣，概率為 ((1 - 1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 3) ^ (x - 1) - (1 / 6) ^ (x - 1)) * (1 / 2)
p(x)就為上面三種情況的和
那麼，根據期望公式，平均值就等於從x = 3 到 n（無窮）求(x * p(x))的和
以上引用：
這個用組合數學的方法也很強，主要是他求極限的方法：
設在第n次實驗中1、2、3沒有全部出現的事件為xn(n>=3)
在某次拋骰子中 1出現的概率為1/6; 2出現的概率為1/3;3出現的概率為1/2;
p(xn) = (1/6+1/3)n+(1/6+1/2)n+(1/3+1/2)n-(1/6)n-(1/3)n-(1/2)
n //容斥原理
首先介紹一下指示器隨機變數。
指示器隨機變數為概率與期望之間的轉換提供了乙個便利的方法。給定乙個樣本空間s和事件a，那麼事件a對應的指示器隨機變數i定義為
i(a)=1 如果a發生的話；0 如果a不發生的話。
首先證明以下結論：
拋n次，123沒有全部出現的概率，記為p(n),很容易通過容斥原則求出p(n)。
對p(n)從n=0到無窮求和。即為題目所求的期望。
定義隨機變數x_n=1表示事件「前n次投擲骰子,123沒能全部出現」發生，x_n=0表示這個事件沒發生，即x_n是該事件的指示變數。
令p(n)為「投n次骰子，123沒能全部出現」的概率，即x_n的數學期望為：
e[x_n] = 1*pr[x_n=1]+0*pr[x_n=0]=p(n)
令隨機變數x表示投擲到多少次時，123剛好全部出現過。
最關鍵的一步是發現一下的恒等關係：
x=x_0+x_1+x_2+x_3+......
即x為所有x_n的和，n=0到無窮。
例如：假設投擲到第7次時123剛好全部出現，即x=7，即x_0到x_6都為1，從x_7開始至n無窮,x_n都為0.
我們的目標是求e[x]，根據期望的線性，有：
e[x] = e[x_0] + e[x_1] + e[x_2] + e[x_3]+...
注意儘管各個x_n之間並不獨立，但線性期望對於任何隨機變數都是無條件成立的，所以我們總可以輕鬆吧問題化整為零。
前面已經能夠知道e[x_n]=p(n),而且p(n)可以用容斥原理則輕鬆算出。因此所求期望就是所有p(n)的和，n=0到無窮，這是乙個簡單的幾何級數。
p(n)=(1/2+1/3)^n + (1/2+1/6)^n+(1/3+1/6)^n - (1/2)^n-(1/3)^n-(1/6)^n
=(5/6)^n+(2/3)^n-(1/3)^n-(1/6)^n ;(n>=3)
而p(0)=p(1)=p(2)=1;
那麼這個答案應該是
而幾何級數1+q+q^2+q^3+....=1/(1-q)
因此e[x] = 3+f(5/6)+f(2/3)-f(1/3)-f(1/6) = 7.3
f(x) = x^3/(1-x);
l2,l3如最右l1一樣，還可以繼續展開，如下方程所示
根據這個樹狀結構和其中的遞迴關係，這個方程組就是：
l123 = p1 (l23+ 1) + p2 (l13+1) + p3 (l12 + 1) = p1 l23 +p2 l13+ p3 l12 + 1
（以這個l123為例，投擲1的概率是p1而由此得到的結果是需要期待後續2和3各至少出現一次，於是長度期望是l23+ 1，加1是因為投擲了一次，亦即即增進一級）
l23 = p1 l23 +p2 l3+ p3 l2 + 1
l13 = p1 l3 +p2 l13+ p3 l1 + 1
l12 = p1 l2 +p2 l1+ p3 l12 + 1
l1 =p1 ·1 + p2 (l1+1) + p3 (l1 +1) = p2 l1+ p3 l1 + 1
l2 = p1 l2 + p3 l2 + 1
l3 = p1 l3 +p2 l3+ 1
帶入p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2即可得到。
引用參考：
每天一道面試題 開篇
先說一下自己寫 每天一道面試題 原因。雖然現在所在的公司對我還是比較重視，但是現在公司的現狀是取消了加班費，加班沒有調休 不論工作日還是週末還是法定節假日 本著能者多勞以及 培養新人 的觀念，我是專案組裡面加班最多的人之一，幾乎每天加班到十一二點，週六才能夠在晚上7點前下班。這種狀態持續了四五個月。...
每天一道面試題 JAVA部分
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《每天一道筆試題》（1）
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