清北學堂（2019 4 30 ） part 3

今天總的講些演算法，會了的話...看上去好厲害的樣子：

1.老朋友動態規劃dp：

dp重點：

1.邊界條件，開頭不需處理的資料，比如斐波那契數列中的第一二項

2.轉移方程，後面的項需要根據前面幾項求出自身值的方程（等式）

套路：1.定狀態，

2.寫方程，

3.敲**

三種用法：

1.順著推，

2.倒著推，

3.記憶化搜尋，

舉個栗子——斐波那契：

1.倒著推：比較簡單，只寫方程：f[n]=f[n-1]+f[n-2]

2.順著推：**

#includeusing
namespace
std;
intn;
int f[25
];int
main()
cout
return0;
}

中間核心部分思想在於最新一項去更新後項，因為由遞迴公式可得當前f[a]只對f[a+1],f[a+1]產生貢獻，而倒著推思想在於用已經推過的值去更新最新一項。

3.記憶化搜尋：**：

#includeusing
namespace
std;
int f[25
];bool vis[25
];       //用這個bool陣列記錄是否推過
inline 
int dfs(int
n)int
n;int
main()

聽說記搜能做出來的動規題，前兩種一定能做出來...

分類：1.數字dp

按照十進位制每一位dp，自己寫的**（用動規思想寫出的偽高精...）：

#includeusing
namespace
std;
int xn[15],xm[15
];int
n,m;
int v[15
];int
main()
while(m>0
)    
for(int i=tn-1;i>=0;i--)
v[i]=v[i+1]*10+xn[i]-xm[i];
printf("%d
",v[0]+1
);    
return0;
}

大佬的：

#include#include
#include
#include
using
namespace
std;
int f[10010][2],z[10010
],l,r;
int solve(int
x)//
存一下x的十進位制表示 
n--;
memset(f,
0,sizeof(f));//
要做兩個動態規劃
f[n+1][1]=1
;    
for(int i=n;i>=0;i--)
for(int j=0;j<=1;++j) 
else}}
return f[0][0]+f[0][1
];    
}int
main()

主要思想是分類討論，討論每次處理位數是否相等

2.樹形dp

例題：求n個節點的樹有幾個節點（exm？！）

我其實想用前向星遍歷求結果來著，還是練練dp吧，

主要思想：

根據子樹考慮

每個葉節點的子樹節點個數為1，非葉節點的為所有子樹的節點數+1（自身）

偽**：

inline void dfs(int
p)    f[p]++;
}

大概正確吧...

樹的直徑：

給定一棵樹，樹中每條邊都有乙個權值，樹中兩點之間的距離定義為連線兩點的路徑邊權之和。樹中最遠的兩個節點之間的距離被稱為樹的直徑，連線這兩點的路徑被稱為樹的最長鏈。後者通常也可稱為直徑，即直徑是乙個數值概念，也可代指一條路徑

現給一棵樹，求其直徑

思路：設f[p][0]為p點的最長路，f[p][1]為p點的次長路，分別儲存。

需根據子樹推導，對每個節點進行討論，對於葉節點，其沒有子樹，故無法進行討論，對於其他節點，則討論其子樹，尋找每個子節點的最長路及次長路，然後　按照方程取:

f[p(當前節點)][0]=max(f[p1(子節點1)][0]，f[p2][0],f[p3][0],..........,f[pn][0])+1

f[p(當前節點)][1]=max(f[p1(子節點1)][0]，f[p2][0],f[p3][0],.....(加特判不算上一步中取到的點).....,f[pn][0])+1 //因為要去最長路徑，所以顯然要取最長路徑，而不是次長路，此處容易誤認為次長路需從次長路中選。

每次處理時用乙個變數「sum」取max來維護路長總和，以保證結果一定是最長最優，畢竟難免出現以下這種鬼圖的存在...（繪圖**：？？？）

所以根節點並不一定是最長路徑（直徑）經過的點，所以要對每個點進行處理，萬一直徑的根節點在哪個深山老林裡...

3.狀壓dp（聽說是最難的）

一般空間o(n2*2n)

時間o(2n*n)

一般接受n<=20.

（順便說一下：n<=1000,o(n2)）

（n<=100,o(n3)）

（n<=105,o（n log n））

（n<=106,o(n)）

（n<=12,不要考慮複雜度了上暴搜吧）

tsp問題：

平面上有n個點，問把每個點都走一次的最短路徑，並且只能為鏈，不能為樹（更不能是圖），如下：

狀壓（狀態壓縮），用乙個數表示乙個集合，比如表示上圖的路徑

用二進位制實現，如下：

對於7 6 5 4 3 2 1，儲存路徑狀態為1 4 6

即為0 1 0 1 0 0 1，

因每個元素對於乙個狀態來說只有在其中或不在兩種狀態，可用1與0表示，而對於不同元素

其對應二進位制位有獨特的位置與權值，所以每一種狀態都有唯一的十進位制數與其對應

其狀態用f[s][i]表示，s為路徑壓縮結果，即已經走過的點的集合對應十進位制數，j為當前停留點

4.區間dp

從區間中列舉斷點，合併左右，找最優方案

例題：合併石子

**：

#includeusing
namespace
std;
const
int maxn=205,inf=0x7fffffff/2
;int
f1[maxn][maxn],f2[maxn][maxn];
inta[maxn],sum[maxn],n,ans1,ans2;
intmain()
for(int i=1;i<=n*2;i++)
for(int l=2;l<=n;l++)
f1[i][j]+=sum[j]-sum[i-1
];            f2[i][j]+=sum[j]-sum[i-1
];        }
ans1=inf;
ans2=0
;        
for(int i=1;i<=n;i++)
}cout
return0;
}

5.其他（沒有套路，只能自己推轉移方程）

肥腸常烤非常常考

例題：數字三角形（終於有道做過的了qaq）

**：

#include#include
#include
#include
#include
//懷念不用萬用檔案頭的日子
using
namespace
std;
intn;
int v[1005][1005
];int ans=0
;int
main()

例題*改

對於每項v[i][j]%m，求其最大

多開乙個維度，[k]，k表示%m剩下的值，dp方程如下：

if(f[i-1][j-1][(k-a[i][j])%m]||f[i-1][j][(k-a[i][j])%m])

f[i][j][k]=true; //這裡f陣列為bool，結果直接輸出k

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