清華集訓 2014 主旋律

給定一張 \(n\) 個點，\(m\) 條邊的圖 \(g\)，計算他有多少個子圖滿足其強連通。答案對 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 15,m\le \frac\)

\(\rm sol:\)

感覺是開啟了 dag 計數/圖計數的先河？

先考慮乙個暴力做法，注意到子圖 \(g'\) 是強連通圖當且僅當縮點後有且僅有乙個點。

反之其為 dag，那麼考慮計算圖的總數減去縮點後是 dag 的圖的數量。

那麼先考慮 dag 計數。

設 \(f_s\) 表示點集 \(s\) 的 dag 生成子圖的數量，那麼考慮：

\[\sum_ f_t\times 2^}

\]不難發現其算重了，\(f_t\times 2^}\) 的真實含義為度數為 \(0\) 的點集至少為 \(t\) 的方案數。

於是可以使用容斥原理改寫 dag 計數：

\[f_s=\sum_ (-1)^f_t\times 2^}

\]接下來考慮強聯通圖計數，設 \(g_s\) 表示圖 \(s\) 為強連通圖的方案數，那麼縮點為 dag 即存在度為 \(0\) 點，那麼不妨設 \(h_\) 表示點集 \(t\) 的點構成 \(k\) 張強聯通子圖的方案數，且這些子圖互不相交。

不難得到：

\[g_s=2^}-\sum_\sum_k (-1)^h_\times 2^}\times 2^}

\]不難發現 \(h_\) 其實與 \(k\) 的具體值無關，只關乎 \(t\) 模 \(2\) 的值，於是設 \(g_\) 表示將圖 \(t\) 拆成奇數個強連通塊的方案數，\(h_\) 表示將圖 \(t\) 拆成偶數個強連通塊的方案數，於是有：

\[g_s=2^-\sum_(g_t-h_t)\times 2^}\times 2^}

\]\[g_s=\sum_ h_\times g_

\]\[h_s=\sum_ g_\times g_

\]問題瓶頸在於求解 \(2^}\)，可以考慮列舉 \(s\)，然後列舉 \(t\) 同時沿途計算 \(cnt_\)

考慮預處理 \(cnt_\) 即某個點到集合 \(s\) 的邊數，那麼就可以列舉 \(s\)，然後在列舉 \(t\) 的時候順便將 \(cnt_\) 給算出來了。複雜度是 \(\mathcal o(n^22^n+3^n)\)

如果保證圖為無向圖，那麼可以借助 fwt 和 \(cnt_=cnt_-cnt_-cnt_\) 來進行子集 dp，複雜度可以做到 \(\mathcal o(n^22^n)\)

具體：設 \(g_s'=\sum_(g_t-h_t)\times 2^}\times 2^}\)

\[\frac}=\sum_ \frac}\times \frac}}

\]於是就可以直接做了。