給定乙個在\([0,1]\)等概率隨機區間的隨機變數\(x\),給定\(k\),求下面的式子對998244353取模的值
\(k \le 10^6\)
\[\lim _\sum_^n(x_i - \bar)^k
\]之後發現這個東西就是在讓我們求隨機變數\(x\)與他期望的值的\(k\)次方的期望
那麼我們轉化成下面等價的式子
\[e((x - e(x))^k)
\]首先.我們把裡面的式子二項式展開,再根據期望的線性性可以轉化成下面的式子
\[\sum_^k(-1)^\binome(x^i)(\cfrac)^
\]現在發現我們只需要求出\(e(x^i)\)的期望就好了
現在想一下,如何求\(e(x^i)\)
我們再次考慮期望的本質再把式子給轉化回去
\[\lim _ \sum_^n\fracf(x)^k
\]也就是說,我們現在要求\(x_i^k\)的平均值
對應到函式上就是我們有乙個形如\(f(x)= x^k\),\(x\in[0,1]\)的函式,要求這個函式隨機取值的高度的平均值
我們考慮求出面積之後除以底即可,如何求出這個影象的面積呢？
肯定要積分
\[\int^1_0 f(x) d x= f'(1) - f'(0) = \frac
\]那麼求出面積之後,除以底即可。為什麼這樣可以,可以用物理求平均速度的方法去解釋
那麼我們也就是說明了
\[e(x^i) = \frac
\]直接帶回原來式子求解即可
題目大意:給定一棵帶點權為正的有根樹,多組詢問,每組給定乙個\(k\),求選擇\(k\)條從根開始的鏈,最大化\(k\)條路徑的並集的點權和
首先,如果不是點權並集，我們可以直接貪心選,
但是並集就相當於用過了的點就沒有貢獻了,所以上面的做法可以肯定是錯的
那麼我們通過貪心的想可以發現下面一些有趣的事情
每次選擇的路徑終點一定是葉子
乙個點如果被選擇,他權值和最大的兒子一定被選擇(權值和定義為子樹內點權最長鏈),換句話說,乙個點一定和權重最大的兒子一起被選擇
那麼對於乙個點,我們就可以把他的權重和他最大的兒子綁在一起,最後就會形成若干條長鏈,如下
同一顏色是同一長鏈,那麼我們求出若干條長鏈的權值,排序取前\(k\)大即可
寫這個題,主要是給自己科普一下物理知識/cy
二分答案的做法異常明顯,就不說了
首先我們乙個球肯定是到離他距離最近的洞
設第\(i\)個球裡最近的洞的距離為\(d_i\)
設最終進洞時間為\(t\)我們發現有
\[e_i = \frac
\]所以得到
\[\sum_^n \frac = e_k
\]解方程即可得到\(t\)
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2018北師珠ACM校內賽 網路預選賽
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