原題鏈結
我們在「值域」上建立線段樹。每個節點維護一段值域區間[l,r]，並記錄序列中數值落在這段值域區間[l,r]內的點有多少個，記為cnt。先不考慮下標區間[l,r]的限制。對於詢問整個序列a1~an中的第k小數，我們執行線段樹的查詢操作，對於每個線段樹上的節點，只需比較k與左兒子(其值域區間為[l,mid])的cnt，若k<=l.cnt，那麼就可以遞迴查詢左子樹中的第k小數，否則遞迴查詢右子樹中的第(k-l.cnt)小數。
當然，鑑於ai的規模，我們建立要建立權值線段樹就需要先離散化。
考慮下標區間[l,r]。
顯然，只建立一棵線段樹是不能夠支援我們的操作的。於是我們便需要建立主席樹，考慮將序列a1,a2,a3,……,an依次插入主席樹中，那麼每一棵主席樹的根節點root[i]所對應的其所維護的序列就是a1~ai，以root[i]為根節點的主席樹(值域區間[l,r])就儲存了序列a的前i個數中落在[l,r]內的有多少個。
容易發現一條很重要的性質：由於每棵主席樹中的所有節點所代表的值域區間都是一一對應的，這就意味著： 我們取兩個序列a中的下標l,r。 以root[r]為根的主席樹中儲存了序列a的前r個數中落在[l,r]內的有多少個， 以root[l]為根的主席樹中儲存了序列a的前l個數中落在[l,r]內的有多少個。 所以root[r].cnt-root[l].cnt就是序列a下標區間[l+1,r]中落在值域區間[l,r]內的數有多少個。這樣我們就把下標區間的問題解決了。
對於每次詢問l,r,k。 我們同時遍歷以root[r]為根和以root[l-1]為根的兩棵主席樹，在每乙個點上，計算出兩者左子樹的cnt之差，然後與k作比較，若k較小，則往左遞迴，若k較大，則往右遞迴。就是我們剛才講過的過程了。
於是這個問題就解決了。 當然該問題還有整體二分、歸併樹、線段樹套平衡樹等做法，我們不予討論。、
整個演算法時間複雜度o((n+m)logn)，空間複雜度o(nlogn)。
#include #include #include #include using namespace std;const int n=2e5+10;
struct nodetree[n*22];int idx;
int root[n];
int a[n],b[n];
int n,m,t;
int build(int l,int r)
int insert(int now,int l,int r,int x,int val)
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)l(p)=insert(l(now),l,mid,x,val);
else r(p)=insert(r(now),mid+1,r,x,val);
sum(p)=sum(l(p))+sum(r(p));
return p;
}int query(int u,int v,int l,int r,int k)
int find(int x)
int main()
return 0;
}
原題鏈結
基於我們剛才主席樹的做法，讓以root[i]為根的主席樹維護序列a1~ai的資訊，則當我們要將ax作出修改時，其修改結果會影響到以root[x]、root[x+1]、……、root[n]為根的共n-x+1棵主席樹，如果以樸素的做法，每次都把這些主席樹全部維護的話，時間複雜度是o(nm)的，顯然不行。但是這也為我們提供了思路。這與字首和十分相似，當我們修改中間某個點時，自然就會對其後所有字首和產生影響。而我們的主席樹並不善於維護字首和，所以我們應該交給擅長維護字首和的樹狀陣列去做。
對於每棵以root[i]為根的子樹，我們讓其維護序列a[i-lowbit(i)+1~i]的資訊。
這樣對於每次單點修改，它最多隻會影響到logn個root，也就是只會影響logn棵主席樹，故我們只需在每次修改時，憑藉樹狀陣列的單點修改操作處理出需要維護哪logn棵主席樹，然後同時進行維護即可。
對於查詢操作也是同樣的，我們通過樹狀陣列的區間查詢操作處理出需要查詢哪logn棵主席樹，然後同時遍歷。
樹狀陣列的查詢操作查詢的就是字首和，對於詢問的區間l,r，我們要分別處理兩組logn棵主席樹，第一組是l-1的字首和，第二組是r的字首和。
然後在遍歷過程中需要與k進行比較然後判斷遞迴左子樹還是右子樹的那一步，我們只需將第二組主席樹的左兒子的cnt求和，減去第一組主席樹的左兒子的cnt之和，再將結果與k進行比較即可。
因為這道題需要離散化，所以我們得離線做。
整個演算法時間複雜度o(mlog2n)，空間複雜度o(nlog2n)。
#include #include #include #include using namespace std;const int n=1e5+10;
struct quesq[n];
struct nodetree[n*20];int idx;
int root[n];
int a[n],b[n<<1];
int tmp[2][20],cnt[2];
int n,m,t;
int lowbit(int x)
void modify(int &p,int l,int r,int pos,int val)
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid)modify(l(p),l,mid,pos,val);
else modify(r(p),mid+1,r,pos,val);
cnt(p)=cnt(l(p))+cnt(r(p));
}void pre_modify(int x,int val)
int query(int l,int r,int k)
else }
int pre_query(int l,int r,int k)
int main()
else
}sort(b+1,b+t+1);
t=unique(b+1,b+t+1)-(b+1);
for(int i=1;i<=n;i++)pre_modify(i,1);
for(int i=1;i<=m;i++)
else
} return 0;
}
靜態區間 kth 第 k 小數
給定乙個長度為 n 的整數序列，下標為 1 sim n m 個操作，每次給定 l,r,k 表示詢問下標為 l sim r 的區間內第 k 小的數 1 leq n leq 10 1 leq m leq 10 a leq 10 值域很大，建立權值線段樹，權值線段樹要求離散化後的值之間的大小關係不發生改變...
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