是第800題啦。
怎麼說，$rvalue$學長寫的已經挺好的了，我在這裡做一點補充，寫一點理解。
但是這道題真的值得寫一下題解，畢竟一百行也算是數論工程題了。
定義函式
$fp(k,n)$為$n$中$k$的最大冪次。
$ext(k,n)=n/fp(k,n)$
我們要求的就是$ext(10,n!)%1000$
怎麼做。
首先$ext$函式在$k$為質數的情況下是完全積性函式。（這裡zsq學長出鍋了，沒有說k是質數）
這個證都不用證吧。。。根據定義直接出了。
好到這步我都懂，甚至看到最後我都懂。
可是根本想不到。
這一步就是切入題目的最關鍵點了。
為什麼要設立這樣乙個函式。
其實目的就是轉化問題，本來讓人摸不著頭腦的題一下子思路就清晰起來了。
可能這就是公式思想。把不會的轉化為公式，然後用數學方法死剛公式就行了。
然而$10$不是質數，不是很好求，所以我們用$crt$合併對$ext(10,n!)$求解。
代出兩個互質部分的式子。
$ext(10,n!)=\frac5^}$
一種經典的$o(log_5(n))$階乘求因子方法，可以很快的求出$fp(5,n!)$，$2^c$和$5^c$互質，可以直接尤拉定理求逆元。
所以其實求$ext(5,n!)$即可。
在$k==1$的時候。我們將$10$拆分成$2$和$5$。
利用$ext$的完全積性。
$ext(5,n!) \equiv \prod \limits_^ext(5,i)(mod\ 5)$
$\equiv \prod \limits_^ext(5,\frac)\prod \limits_^ext(5,i)(mod\ 5)$
$\equiv ext(5,\frac)\prod \limits_^i(mod\ 5)$
$\equiv ext(5,\frac)(\prod \limits_^i)^} \prod \limits_^ i (mod\ 5)$
發現是個遞迴式。
一千的話，同理也可以快速遞迴的到答案。
但是要寫高精所以就很麻煩了。
1 #include2 #include3 #include4num最後$%%%zsq$學長，教我多項式，題解寫的又好。using
namespace
std;
5const
int maxn=1e2+5
;6 typedef long
long
ll;7 inline void read(int &x)813
const
int tw[4]=,fi[4]=,phif[4]=,mo[4]=;
14int
t,k,tc,fr,se,num;
15char
s[maxn];
16int add(int x,int y,int mod)
17int mul(int x,int y,int mod)
18int qw(int a,int b,int
mod)
1924
struct
bigdata
27void init(char *s)
2833
void divf(int
m)34
39int getm(int
mod)
4045
int getn()
46void print()
47}n,tmp;
48int nfac(bigdata &t,int m,int
mod)
4956
return
ans;57}
58void lit(int n,int
k)59
66for(int i=k;i>=1;--i) printf("
%lld
",(ans/mo[i-1])%10);puts(""
);67}68
intext()
6977
intmain()
7886 tmp=n;
87 tc=nfac(tmp,5
,phif[k]);
88 fr=qw(qw(2,tc,fi[k]),phif[k]-1
,fi[k]);
89for(int i=num=1;i<=fi[k];++i) if(i%5) num=mul(num,i,fi[k]);
90 se=ext();
91 se=mul(se,fr,fi[k]);
92while(se%tw[k]) se=add(se,fi[k],tw[k]*fi[k]);
93for(int i=k;i>=1;--i) printf("
%d",(se/mo[i-1])%10);puts(""
);94}95
return0;
96 }
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