關於for迴圈的時間複雜度

今天在看演算法時，遇見了一些問題，想了很久，現總結如下，關於for迴圈的時間複雜度。我們知道當一重for迴圈時

package

suanfa;
public
class
fortest 
}}}

這是最簡單的for迴圈，count執行n次，時間複雜度是n；

如果是for的二重迴圈呢

package

suanfa;
public
class
fortest 
system.out.println("k值為："+k);
system.out.println("count值為    :"+count);
}}

可以看見count輸出4950；一般剛接觸時，就會覺得這事件複雜度是n的平方，當然一般這樣說也沒錯，但是你有沒想過，為什麼k輸入是100時，count輸出是4950，如果k是其他值呢，

count又會是什麼，兩者之間有什麼關係？如果for是三重迴圈又會是怎樣呢？

三重迴圈的情況如下：

package

suanfa;
public
class
test 
system.out.println("k值為："+k);
system.out.println("count值為    :"+count);
}}

可以看見count輸出為161700，當然你也可以試著把k改小一點，當然你要試著**k和count的關係，在二重for迴圈、三重for迴圈、甚至

i    0 　　1　　2　　3　　...... n-2　　n-1

j   1　　 2        3       4      ......   n-1.     

當i為0時，j可取1到n-1,使得if語句能夠有效執行；同理i=1時，j可取2到n-1;

i=0;  j = 1,2,3,4.....n-1;（if語句執行 （n-1）-1+1 次  即 n-1次）

i =1 ,j =2,3,4....n-1;  （if語句執行 （n-1）-2+1 次  即n-2次）

i=2 , j =3,4,5...n-1;

i=n-2,j =n-1  (if語句執行一次）

可得if語句執行的總次數為：  （n-1+1）(n-1-1+1)/2 = (n-1)*n/2,你也可以理解為c（2 n）(姑且這樣表示吧），這個東東不知道怎麼表示，就是和二項式係數有關的那個，2是上角標，n是下角標;

c（2 n）=n*(n-1)/(2*1);

三重迴圈時：假定k值為n；那麼要使if語句能夠執行；需滿足：

i    0 　　1　　2　　3　　......         n-3　　

j   1　　 2        3       4      ......          n-2.     

x   2　　3　　4　　5　　........        n-1

經過如上推算，可得 if語句執行總次數為  c(3 n) = n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/6;

四重for迴圈 ， 可得 if語句執行總次數為    c(3 n) = n*(n-1)*(n-2)*（n-4）/(4*3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/24;

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