樹狀陣列求逆序對 POJ 2299 3067

前幾天開始看樹狀陣列了，然後開始找題來刷。

首先是 poj 2299 ultra-quicksort：

這題是指給你乙個無序序列，只能交換相鄰的兩數使它有序，要你求出交換的次數。實質上就是求逆序對，網上有很多人說它的原理是氣泡排序，可以用歸併排序來求出，但我一時間想不出它是如何和歸併排序搭上邊的（當初排序沒學好啊~），只好用剛學過的樹狀陣列來解決了。在poj 1990中學到了如何在實際中應用上樹狀陣列，沒錯，就是用個特殊的陣列來記錄即可，然後區間查詢和單點更新的複雜度都在o(logn)範圍內。

對於這道題，即處理到第i個數時，可以通過計算 i-1-它前面比它小的數得出前面比它大的數，即該數前面的逆序數；而統計某數前面比它小的數就是樹狀陣列的裸題了。分析到這裡已經差不多了，但是一看，a[i] ≤ 999,999,999，就不能簡單地用陣列下標來記錄a[i]的值了，這時我想起了之前看過的乙個很高大上的名字："離散化"，沒錯，就是離散化，因為n < 500,000而已，用不著那麼多陣列的空間，把a[i]通過排序再放進陣列即可，不過具體的題我還沒做過，對於這道題，我的做法是設定乙個輔助陣列 r[i] 表示第i個數的下標，初始化時也就是r[i]= i，然後通過比較對應a[i]的a[j]的值對r

排序。說白了就是對陣列a的下標進行排序（利用了劉汝佳小白書上

kruskal的做法）

，這時候

陣列r的逆序數就是陣列a

的逆序數。這是因為在排序時是一一對應的，每交換兩個數使a消除乙個逆序對時r便增加乙個逆序對（r本來是1,2,3,4,5……的順序數列），所以就轉化為了求陣列r的逆序對，此時下標只受n<500,000約束，開陣列不成問題，詳見**：

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std;
5 typedef long
long
ll;6
const ll maxn= 500008;7
8 inline int lowbit(int x) 910
struct
treearray
13void clear() 
14int sum(int x) const
20return
ans;21}
22void add(int x, int
d)27}28
} num(maxn);
2930
inta[maxn], r[maxn];
31bool cmp(int i, int j)    
3233
intmain()
40         sort(r+1,r+n+1
,cmp);
41         ll inv= 0;42
num.clear();
43         num.n=n;
44for(i=1; i<=n; ++i)
48         printf("
%lld\n
",inv);49}
50return0;
51 }

樹狀陣列的寫法我參照了網上的人的寫法，把它封裝成乙個結構體，用於實現區間查詢和單點更新的陣列c放在了結構體內，這樣子可使**更清晰，不至於要開個全域性陣列容易混淆，如同矩陣快速冪一樣把矩陣的乘法過載在結構體中，可以避免在一些細節上浪費精力，**量也沒有增加多少。

然後是第二道 poj 3067：

這題主要是說東西兩邊各有1~n和1~m個城市，然後有k條道路連線東西兩邊的城市，要求這k條邊的所有交點。這裡有個不大卻很易栽的坑：k的範圍沒給出，所以可以猜想其為n*m的上限，然後它給出的道路也沒說是有序的（千萬別被樣例騙了），所以我們首先要對它進行預處理才行。

如上題一樣，可以利用求逆序對的做法來求。為什麼呢？我們可以先按e（就是左邊的座標）排公升序，e相同的話按w（右邊的座標）排公升序（w一定要為公升序，因為e相同時的邊是不會有交叉點的，所以w公升序在統計時可以使e相同而w不同的邊不存在逆序對，符合沒有交叉點的實際情況），大體的預處理就是這樣，然後對排好序的w邊進行求逆序數即可，具體求法如上題所述。和上題不同的是，這裡的w值可以和前面的重複，但也不影響樹狀陣列的運用，要處理好細節，記住先返回區間的值即sum(x)，再去更新即add(x)（陣列c[x]在add(x)前為0，不影響sum(x)的統計）。

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std;
5 typedef long
long
ll;6
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
7const
int maxn= 1000006;8
9struct
treearray
12void clear() 
13     ll sum(int x) const
19return
ans;20}
21void add(int x, int
d)26}27
} num(maxn);
2829
struct
edge
35} edge[maxn];
3637
void
solve()
52     printf("
test case %d: %lld\n
",++p,inv);53}
5455
intmain()

奇怪的是，這題我wa了近10遍才過(t.t)，一開始怎麼也找不著錯的原因，各種long long、__int64、%lld、%i64d的輸入輸出姿勢都試過了，還是wa，沒辦法，只好和標程一點一點地對拍，到最後才發現真正的錯誤是在num.n= m這裡，就是沒處理好樹狀陣列c的n，這種細節問題還是第一次見，不過也需記住這個錯誤，因為樹狀陣列的結構體模板以後應該會經常用到，還是得多刷題了，昨晚竟被老師和師兄說自己的進度太慢，聽後除了慚愧外還有一絲恨鐵不成鋼（我對自己）的心理，大白書，come on！

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樹狀陣列求逆序對離散化 poj2299

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