蠻力法解 TSP 問題

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蠻力法也稱窮舉法或列舉法，是一種簡單直接地解決問題的方法，常常直接基於問題的描述，所以蠻力法也是最容易應用的方法。蠻力法所依賴的基本技術是遍歷，也稱掃瞄，即採用一定的策略依次理待求解問題的所有元素，從而找出問題的解。依次處理所有元素是蠻力法的關鍵，為了避免陷人重複試探，應保證處理過的元素不再被處理。

使用蠻力法求解 tsp 問題的思想是，通過窮舉的方式把所有可能的路徑找出來，然後對每一條路徑都計算開銷，最終找出開銷最小的路徑。例如對於如圖 4 個城市的拓撲，使用蠻力法求解的過程如**所示。

序號路徑

路徑長度

是否最短

1a->b->c->d->a18否

2a->b->d->c->a11是

3a->c->b->d->a23否

4a->c->d->b->a11是

5a->d->b->c->a23否

6a->d->c->b->a18否

當城市規模增大時，存在的路徑數會呈現指數型增長，例如 11 個城市的拓撲圖如下所示。

tsp 是個 np 完全問題，我們需要圖結構來進行儲存。我選擇鄰接矩陣儲存城市拓撲圖，定義的圖結構體如下。

typedef struct    //圖的定義
mgraph;

接下來就需要把城市拓撲儲存在鄰接矩陣中，因為城市拓撲是完全圖，因此我們需要儲存所有城市之間的距離。

mgraph createmgraph(int num)    //建圖 
}	for (int i = 1; i <= num; i++)		}
topography.n = num;
return topography;
}

想要獲取最短的路線，使用蠻力法進行分析時需要先獲取所有的路徑。dfs 可以獲取所有的路徑，編寫的**如下。注意當獲取一條新路徑時，需要先把該路徑拷貝到下乙個路徑，因為遞迴實現的 dfs 無法返回上一層遞迴執行填充操作。這麼做是可行的，因為相鄰路徑不需要回溯的路線是一樣的，而回溯的部分會直接覆蓋原來的路線。

void dfs(int new_point, int cities_visited, int &path_index)    //深度遍歷 
path_index++;
}	else
}}	return;
}

接下來要計算所有路徑的長度，並且得出最短的路線。同時我們也需要確定 dfs 執行了多少次，方便我們分析時間複雜度。

int main()
//初始化訪問狀態 
for(int i = 1; i <= topography.n; i++) 
//出發 
cout << "從哪個城市出發：";
cin >> start_point; 
visited[start_point] = 1;
//獲取所有路徑 
dfs(start_point, cities_visited, path_index);
//得出最短路徑 
ofstream outfile;
outfile.open("11.txt");
for (int i = 1; i < path_index; i++)
if(sum < min_sum)
}cout << "\n最短路徑為路徑" << min_path << ":"; 
for (int j = 1; j <= cities_num; j++)
cout << path[min_path][cities_num + 1] << endl;
cout << "最短路徑長度為:" << min_sum << endl;
cout << "dfs 次數為:" << count;
return 0;
}

使用上述不同規模的城市拓撲分析tsp問題，得出的實驗資料如下。

城市規模(個)

路線數(條)

dfs次數(次)

資料檔案大小(kb)46

當使用蠻力法解決tsp問題時，需要考慮從某個城市出發的所有路線。由於城市之間彼此互通，城市拓撲是個完全圖，因此所有路線的數量規模是 n-1 個城市的全排列。

當輸入城市數量n時，會產生n!條路線，從而計算路徑長度的操作就需要執行n!次。也就是說蠻力法解決tsp 問題的 t(n) = n!，從而得出 o(n) = n!。無論是路線數、dfs 次數還是資料檔案大小，都能明顯地體現這個趨勢。

我一開始使用的是 c++ 的 new 運算子動態記憶體分配二維陣列。但是除了城市規模 4 的資料下，其他的規模均無法正常執行，並且主函式「return value 3221225477」。經過查閱資料得知這可能和未初始化的變數或指標引發的，但是我並不知道問題**及其原因，無奈之下只好直接定義了乙個較大的二維陣列進行儲存。

在測試城市規模 12 的資料時，由於棧區空間已經用盡，我打算使用動態記憶體分配使用堆區記憶體。結果需要分配的記憶體過多，導致所有記憶體空間全部被 c++ 占用，而 c++ 並沒有智慧型保護記憶體的機制，導致我的電腦直接宕機。在強行斷電並修復電腦之後覺定放棄 12 個城市的 tsp 問題求解。

蠻力法是解決問題明確而直接的手法，程式編寫較為簡單，思路是模擬情景下的所有可能性進行分析，在時間允許下是極佳的演算法。但是在不同的情景下會存在效率低下的情況，我們會需要更加巧妙的演算法提高解決問題的效率，期待接下來對演算法的進一步學習，使用其他的演算法對這些問題進行求解。

《資料結構(c語言版|第二版)》—— 嚴蔚敏李冬梅吳偉民編著，人民郵電出版社

《演算法設計與分析(第二版)》——王紅梅，胡明編著，清華大學出版社

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