這次要學的是乙個聽起來很虛的東西
沒錯寫起來更虛
畢竟都是在虛的東西上面操作……
虛樹，顧名思義，就是一棵不真實的樹【大霧】
它可以對於一部分點儲存整棵樹的所有資訊，而對一部分點選擇忽略，這樣可以增加dp/點分治的效率
為了給大家乙個更好的例子（免得看不懂虛樹到底能幹嘛），我們先來看乙個題目：消耗戰
容易看出，這道題需要對每個詢問做樹形dp，然後每次在原樹上dp都有$o\left(n\right)$的時間開銷，m次詢問做完肯定tle
這時候就要用到虛樹這個資料結構了
考慮一組詢問，我們在樹上有一些點是」詢問點「，剩下的點不是
也就是說，其實我們只是需要對這些」詢問點「處理資訊，然後再把詢問點的資訊合併就好了
誒，等等，萬一詢問點之間不全都是父子關係怎麼辦？
那看來我們還要加上詢問點們的lca，也一起放到這課樹裡面
這樣，我們的新樹中就有這組詢問的所有詢問點，以及它們互相之間的lca了，然後這個點的數量級是$o\left(詢問中的點數\right)$級別的
我們看到，題目資料範圍裡說，所有的詢問點數總和不超過300000
ok！這樣dp就不會超時了！！
所以上面這一步中，我們找到了做題的思路：把虛樹建出來，在虛樹上dp
那麼，怎麼實現構建虛樹的過程呢？
這個好像有點麻煩，因為我們並沒有什麼方法能對於乙個點集合求出它們的附加lca，所以我們得換個角度下手
這裡的思路比較複雜，說出來也價值不大，所以就直接提供方法了
我們維護乙個單調的棧，這個棧裡的元素關於深度單調，也就是說我們棧裡面儲存一條從當前根開始的樹鏈。
先把所有的」詢問點「按照dfs序排個序，然後依次把它們加入棧中
每一次，我們設grand為當前待入棧節點和當前棧頂節點的lca
然後做這樣乙個迴圈：
如果當前的棧頂深度大於grand，我們就在棧頂和棧的第二個元素中間連一條虛樹邊，並把棧頂彈掉，直到棧頂的深度小於等於grand
此時讓grand和上乙個被彈出的元素連邊
這時再把grand加入棧頂，然後再把待入棧節點加進來
所有的」詢問點「都入棧了以後，再把棧裡的元素乙個乙個彈掉並連邊就好了
注意這個過程中，所有的加邊只在彈棧過程中進行，注意不要寫錯
這樣建出來的虛樹就是比較點數少的了，而且在求dfs序的同時我們還可以維護深度和子樹大小之類的資訊，後面在虛樹上依舊可以使用
不過，有的時候（例如上面的例題），某個節點一定不會作為詢問點，此時可以先把這個節點（比如例題中的一號）加入棧，作為虛樹的根
否則就需要在每一次新加入詢問點的時候判斷棧是否為空，如果是空的就要直接把這個節點入棧
這樣的方法，最後棧裡剩下的那個元素，就是虛樹的根了
當然，有的題目因為需要一些和dfs時確定的根節點（比如1號）有關的資訊，所以必須以一號作為根，這種時候就要在dp裡面判斷一下了
說了這麼多，其實虛樹的建法也大都和題目有關，因此還是要多看題
這裡放三道虛樹例題，分別對應上面那段講的三種情況
sdoi2011消耗戰
heoi2014大工程
hnoi2014世界樹
可以看到虛樹一般作為優化dp時間複雜度的一種手段，題目真正的精髓還在dp上
像世界樹這道題就dp非常噁心，寫起來賊難受......
總結一下，虛樹就是乙個優化樹的結構的資料結構【好繞啊】，一般結合dp或者點分治使用（好像比較少見點分治的）
當然可能有什麼結合樹上莫隊啊啟發式演算法啊之類的噁心題，但是見得不多就是了
實際上，虛樹這個演算法源於去除冗餘資訊的思維，它把多的、不需要的資訊整合在了虛樹邊上
這一點在世界樹那題裡面特別體現了出來
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