洛谷p6788 「ezec-3」四月櫻花
給定 \(n,p\)，求：\[ans=\left(\prod_^n\prod_\frac}(z+1)^2}\right)\bmod p
\]
資料範圍：\(1\le n\le 2.5\cdot 10^9\)，\(9.9\cdot 10^8。一道題撐起一場月賽，良心又勁爆。
膜拜出題人 @soschina，@muxii。
開局一波猛操作：
\[y^=\prod_y=\prod_z\cdot\frac=\prod_z^2
\]\[s=\prod_^n\prod_\frac}(z+1)^2}=\prod_^n\prod_\prod_\left(\frac\right)^2=^}\prod_^n\left(\frac\right)^\rfloor)}
\]\(\color\) 的原理就是 \(\sum_=d(\frac)\)，其中 \(sumd(n)=\sum_^n d(i)\)。
然後就是要求：
\[\prod_^n\left(\frac\right)^\rfloor)}
\]很明顯 \(\frac\) 的字首積是可以 \(\theta(\log n)\) 求的，問題是怎麼求 \(sumd(\lfloor\frac\rfloor)\)。
其實是可以分塊套分塊的，時間複雜度 \(\theta(n^+\sqrt\log n)\)，勉強卡得過去。
但是有兩種時間複雜度 \(\theta(n^+\sqrt\log n)\) 的方法：
第一種：由 @alpha1022 巨佬提供，先篩出 \(n^\) 的 \(sumd\)，然後剩下分塊套分塊。
第二種：
蒟蒻的做法，看到資料範圍和 \(\theta(n^)\) 想到杜教篩。
很明顯 \(d\) 這個東西不能直接篩，但是有乙個炫酷的魔術：杜教套杜教。
首先 \(f=d=1*1\)，所以可以令 \(g=\mu\)，\(f*g=1*1*\mu=1\)，滿足 \(f*g\) 字首和可以速速求，問題是要求 \(\mu\) 的字首和。
於是再來一次：\(f=\mu\)，\(g=1\)，\(f*g=\mu*1=\epsilon\)，就是杜教篩模板，隨意篩。
至於具體怎麼套可以看**，考慮到這題只需要求 \(n\) 及 \(n\) 的根號分塊的字首和，所以可以預處理形杜教篩。
//data
using mint=unsigned int;
mint n,nn,mod,ans=1;
mint m(mint x)
mint p(mint x)
void mm(mint&x)
void pm(mint&x)
mint mt(mint x,mint y)
mint pt(mint x,mint y)
mint pow(mint a,mint x)
//sieve
const mint n=5841399+1;
bitsetnp;
vectorprime;
mint mc[n],d[n],mu[n];
void sieve(){
np[1]=true,mc[1]=0,d[1]=mu[1]=1;
r(i,2,nn){
if(!np[i]) prime.pb(i),mc[i]=1,d[i]=2,mu[i]=mod-2;
for(mint p:prime){
if(!(i*pvis;
mint d(mint i){return i祝大家學習愉快！
P6788 EZEC 3 四月櫻花
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